多目标最优化模型.docx

第 六 章 最 优 化 数 学 模 型

§1 最优化问题

最优化问题概念

最优化问题分类

最优化问题数学模型

§2 经典最优化方法

无约束条件极值

等式约束条件极值

不等式约束条件极值

§3 线性规划

线性规划

整数规划

§4 最优化问题数值算法

直接有哪些信誉好的足球投注网站法

梯度法

罚函数法

§5 多目标优化问题

多目标优化问题

单目标化解法

多重优化解法

目标关联函数解法

投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型

§1 最优化问题

最优化问题概念

最优化问题

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。

最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。

变量

变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。

设问题中涉及的变量为x,x

1 2

, ,x

?n

?

；我们常常也用X?(x,x

1 2

, ,x

?n

?

)表示。

约束条件

在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。

用数学语言描述约束条件一般来说有两种：

等式约束条件 g(X)?0,

i

i?1,2,?,m

不等式约束条件 h

i

或 h

i

(X)?0,

(X)?0,

i?1,2,?,r

i?1,2,?,r

注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件h(X)?0或h(X)?0。这两种约束条件最优化问题最优解的存在性

较复杂。

目标函数

在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。

目标函数常用f(X)?f(x,x

1 2

, ,x

?n

?

)表示。当目标函数为某问题的效益函数

时，问题即为求极大值；当目标函数为某问题的费用函数时，问题即为求极小值等等。

求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别，因为求f(X)的极小值，也就是要求?f(X)的极大值，两者的最优值在同一点取到。

最优化问题分类

最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。

一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。

按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。

按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。

按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动态规划）。

按最优化问题求解方法分类：

? ?古典微分法

?无约束?

①解析法（间接法）? ?古典变分法

? ?极大值原理

?有约束?

?? ?库恩?图克定理

? ?斐波那西法

? ?

?一维有哪些信誉好的足球投注网站法?黄金分割法

?? ? 插值法

?

?

? ?? ?②数值算法（直接法）? ?

? ?

? ?

?多维有哪些信誉好的足球投注网站法?方向加速法

? ?单纯形法

? ?

?? ??随机有哪些信誉好的足球投注网站法

? ?最速下降法

? ?

?无约束梯度法?

拟牛顿法

??

?

? ?共轭梯度法

? ??变尺度法

? ?可行方向法

③数值算法（梯度法）?有约束梯度法?

? ?梯度投影法

? ?SUMT法

?化有约束为无约束?SWIFT法

?

?

??

?

?

?单目标化方法

?④多目标优化方法?多重目标化方法

?

??目标关联函数法

?

?

??复形法

?

⑤网络优化方法

最优化问题的求解步骤和数学模型

最优化问题的求解步骤

最优化问题的求解涉及到应用数学，计算机科学以及各专业领域等等，是一个十分复杂的问题，然而它却是需要我们重点关心的问题之一。怎样研究分析求解这类问题呢？其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。一般来说，应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行：