华电线性系统理论大作业.docx

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华北电力大学研究生结课作业

学年学期：2014-2015学年第一学期

课程名称：线性系统理论

学生姓名：

学号：

提交时间：2014年11月27日

目录

1.绪论 1

2.球杆系统分析与建模 1

2.1球杆模型简介 1

2.2拉格朗日法建模 1

2.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取 4

3.系统稳定性分析 5

3.1有初始状态下求取系统响应曲线 6

3.3稳定性判断并求取零极点分布图 7

4.系统能控性判别 8

4.1代数判据 8

4.2模态判据 8

4.3可控性与可稳定性 10

5.系统极点配置 10

5.1极点配置方法 10

5.1.1状态反馈原理 11

5.1.2输出反馈原理 11

5.1.3PID配置极点原理 12

5.1.4三种反馈对比 12

5.2.用状态反馈进行极点配置 12

6.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计 16

6.1能观性分析 16

6.1.1代数判据 16

6.1.2模态判据 16

6.3全维观测器原理 17

6.4全维状态观测器结构 17

6.5全维状态观测器设计 18

6.6全维状态观测器Simulink仿真 18

6.7全维状态观测器在干扰下的性能研究 20

7.总结 22

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1.绪论

球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等

控制特性进行分析。

2.球杆系统分析与建模

2.1球杆模型简介

球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中x是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左侧为正，

α是导轨相对于水平线的倾斜角。

图1.球杆系统简图

2.2拉格朗日法建模

为了对球杆系统进行研究，我们先对其进行建模，一般来说，这种球杆系统，

运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：

其中T为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V为系

统的势能，包括重力势能弹性势能等等，能量耗散函数为R,q=(q?,q?…q?)

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为广义坐标向量，其中k代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐

标数目，关于自由度在下文会具体分析，u为作用于系统的外力。

以下为各个变量所表示的物理意义，M:导轨的质量，g:重力加速度r:小球的半径I,:球的惯性力矩，I:杆的惯性力矩，x:球的相对横坐标，y:球的相对纵坐标，y:小球相对于导轨的转角，a:导轨与水平线的夹角，球杆系

统受力分析如下：

图1.球杆受力分析

由图可知，小球的广义坐标向量有3个，即是小球坐标x,小球转动角ψ,杆的转角α,而小球的速度和导轨转动的角速度可以用x和a来表达，因此，通过这三个变量，就能完全描述系统的各个状态，但是在实际中，由于小球是沿着导轨只做滚动不做滑动的，因此就有x=Rψ,也就是说小球的转动角ψ和小球位移是一一对应的，那么转动角ψ就可以和x合并到一起分析，这样球杆系统有

两个广义坐标q?=x,q?=a。

要想计算系统的动能，就必须知道小球和导轨的转动惯量，根据资料得小球

和导轨的转动惯量如下：

I,=0.1402kgm2

导轨是一个重心在重心的均匀旋转体，其角速度为a,因此，导轨的动能为：

而小球的动能包括两部分，第一部分是小球沿着导轨运动的动能，用

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来计算，第二部分是小球的旋转动能，用小球的转动惯量和角速度来计算，公式

如下：

其中，小球的转动角速度o,要考虑到导轨的运动，因此要加上导轨的角速

度a

因为导轨转动角速度a速度很小，因此忽略后两项得：

而式中v是小球的线速度，根据资料可以用向量积来表示：

v=v+wXr

其中v是小球相对于导轨的线速度，其数值等于-x,负号是指方向与规定的正方向相反，o指的是导轨的角速度，即a,r是小球的质心在坐标系中的位

置向量，计算式如下：

由于小球的半径R很小，同时导轨转动的角速度a也很小，因此上式可以近

似等于：

4

将以上结果带入小球动能计