角的概念的推广.docx

使生如夏花之绚烂，使死如秋叶之静美

1.1.1 角的概念的推广

编制单位：临朐实验中学 编制人：刘慧敏刘清大审核人：李永亮 编号：6

【学习目标】

认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

能用集合和数学符号表示象限角；

能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

【学习重点】形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边

相同的角的表示方法和判定方法

【学习难点】 终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

【知识链接】

问题1：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？

问题2：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多

少？

问题3：在图上我们如何区分这两个角？

【情境导入】

为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.

【课内探究】

思考1：两种定义方式有什么异同之处？思考以下问题，填表

在旋转式定义方式下，一次旋转而得的角有几个？

两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？当旋转超过一周时，如何描述旋转量？

角

组合式

旋转式

边

顶点

个数

范围

【概念形成】

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显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充，

思考2：我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？

在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.任意角的图示方法，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.

在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转

BθOA

B

θ

O

A

B

A

O

θ

如图(课本图1－1)，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.

如图，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.

例：∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°.

【概念应用】

一．角的合成与运算

『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.于是，角的合成可以用实数运算来表示.

练习

课本P7.练习A.5题

课本P6练习A.2题（3）二：终边相同的角

思考3：以OX轴为始边旋转30 ,接着再旋转360 ，则两个角终边 ，继续旋转可得到

无数个角，关系为 ，如何表示？

一般地，如果?和?是终边相同的角，那么我们记????k?360?,k?Z当k＝0时，两个角相同.

如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.因此我们定义：

定义 如果当角?与角?的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角?与角?是终边

相同的角.

表示方法

思考4：终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？思考5:终边相同的两个角的度数有什么关系？

思考6：设?和?是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？

总结：1.如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的.

从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合.

形式化? 旋转初值

形式化

整数k

旋转次数

360° 单位旋转量

2.终边相同的角的集合形式：设?表示任意角，所有与?终边相同的角，包括?本身构成一个集合，这个集合可记为S???|????k?360?,k?Z?.

集合中的每一个元素都与?的终边相同，当k＝0时，对应元素为?.

【概念推广】

从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法

例如????k?180?,k?Z，表示角?每次旋转180°，角?与角?的终边关于原点对称.

????k?90?,k?Z表示角?每次旋转90°，角?与角?的终边关于坐标轴对称.

※角?