高中数学 第五章 第4讲 平面向量的综合应用.docx

第4讲 平面向量的综合应用

分层训练A级 基础达标演练

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．在△ABC中，B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则a·b＋b·c

＋c·a＝ .

CABCAB解析 由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，可得|→|2＝|→|2＋|→|2，∠B＝90°，∠C＝

CA

BC

AB

60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos120°＋2 3cos150°＋0＝－4.

答案 －4

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A→B·A→C＝B→A·B→C＝1，那么c＝ .

解析 由题知A→B·A→C＋B→A·B→C＝2，即A→B·A→C－A→B·B→C＝A→B·(A→C＋C→B)＝A→B2＝2

ABc＝|→|＝2.

AB

2答案

2

已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足A→P·O→A≤0，B→P·O→B≥0，则O→P·A→B的最小值为 ．

解析 由已知得A→P·O→A＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且B→P·O→B＝(x，y－2)·(0,2)

＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以O→P·A→B＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1

＋4＝3.

答案 3

DA已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(D→B＋D→C－2→)·(A→B－A→C)＝0，

DA

则△ABC的形状为 ．

DA解析 由(D→B＋D→C－2→)·(A→B－A→C)＝0，

DA

得[(→ → → → → →DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC

得[(→ → → → → →

所以(A→B＋A→C)·(A→B－A→C)＝0.所以|→|2－|→|2＝0，

∴|→ →

AB AC

AB|＝|AC|，故△ABC是等腰三角形．

答案 等腰三角形

如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则A→O·B→C＝ .

解析 A→O·B→C＝A→O·(A→C－A→B)

＝A→O·A→C－A→O·A→B，

因为OA＝OB，所以A→O在A→B上的投影为1

-|，所以

-→ 1→ →

2|AB

AO·AB＝2|AB|·|AB|＝2，

同理A→O·A→C＝1→|·|→| 9

故A→O·→

2|AC

9 2 5

AC＝2，

BC＝2－

5

答案 2

＝2.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D，E分别为AB，BC的中点，且A→B·C→D＝B→C·A→E，则a2，b2，c2成 数列．

解析 由A→B·C→D＝B→C·A→E，得(C→B－C→A)·(C→B＋C→A)＝(A→C－A→B)·(A→C＋A→B)，即C→B

2－C→A2＝A→C2－A→B2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差数列．

答案 等差

二、解答题(每小题15分，共30分)

7．(2012·南京模拟)已知在锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

定义向量m＝(sinB，－3)，n＝??cos2B，4cos2B－2??，且m∥n.

? 2 ?

求函数f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；

若b＝1，求△ABC的面积的最大值．

? B ?

解 (1)因为m∥n，所以??4cos22－2??sinB＋3cos2B＝2sinBcosB＋3cos2B

＝sin2B＋3cos2B＝2sin??2B＋π?＝0 π

? 3??

，所以B＝3.

所以f(x)＝sin(2x－B)＝sin??2x－π?.

? 3??

π π 3π

于是由2kπ＋2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈Z)，得函数 f(x)的单调递减区间为

??kπ＋5π，kπ＋11??，k∈Z.

? 12

12π?

(2)当b＝1时，由余弦定理，得1＝a2＋c2－2accosπ 2 2

3＝a＋c－ac≥ac，所以

1 π 3 3

S ＝acsin≤ ，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以(S ) ＝ .

△ABC 2 3 4

△ABC

max 4

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·→·B→A＋cC→A·→

＝0.

求角B的大小；

BC若b＝2 3，试求A→B·C→B的最小值．解 (1)因为(2a＋c)→·B→A＋cC→A·C→B＝