高中数学北师大版必修4学案14142 单位圆与周期性 含解析.docx

§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

单位圆与周期性

理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重点)

掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系．(重点)

理解周期函数的定义．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 正、余弦函数

阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题．

任意角的正弦、余弦函数的定义

单位圆的定义

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．

如图1－4－1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：

图1－4－1

正弦函数

正弦函数

余弦函数

定义

通常表示法

点P的纵坐标v定义为角α 点P的横坐标u定义为角α

的正弦函数，记作v＝sin_α 的余弦函数，记作u＝cos_α

y＝sinx定义域为全体实 y＝cosx定义域为全体实数，值域为[－1,1] 数，值域为[－1,1]

在各象限

的符号

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )

正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，而不用角度制．( )

角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关．( )(4)若sinα0，则α为第三或第四象限角．( )

【解析】 根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角

π π

度制表示时，如30°＋sin30°就无法进行运算，改用弧度制时，6＋sin6就可以运

算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sinα0，α的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

教材整理2 周期函数

阅读教材P16～P17练习以上部分，完成下列问题．

终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系．(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin_x(k∈Z)．

终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos_x(k∈Z)．

一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x

值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．

特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期．( )

(2)f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2为周期函数．( )

?π π? ?π? π

(3)对正弦函数f(x)＝sinx有f??4＋2??＝f??4??，所以2是f(x)的周期．( )

【解析】 (1)错误．k∈Z且k≠0时，2kπ是正弦、余弦函数的周期．(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．

错误．f??π＋π?≠f(π)不满足任意性．

? 2??

【答案】 (1)× (2)× (3)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：

解惑：

[小组合作型]

正弦、余弦函数的定义

正弦、余弦函数的定义

已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ.

【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sinθ，cosθ.

a 2

【自主解答】 当a0时，r＝ a2＋a2＝2a，得sinθ＝2＝2，cosθ＝

a

a ＝2

2a 2.

a

当a0时，r＝ a2＋a2＝－2a，得sinθ＝ ＝

–2 a 2

–2a

2，cosθ＝－2＝－2.

a

利用三角函数的定义求值的策略

求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．

若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．

若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．

[再练一题]

1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值.

【导学号

【解】 设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0，则r＝ a2＋?2a?2＝5|a|.

当a0时，sinθ＝2a ＝

5|a|

2 2 5

5＝ ，

5

5

cosθ＝ a ＝1＝5

5|a|