高中数学北师大版必修4学案章末分层突破3 含解析.docx

章末分层突破

[自我校对]

cosα①sin2α＋cos2α＝1 ②sinα＝tanα

cosα

③Cαβ ④S ⑤T

＋ 2α 2α

三角函数式的求值问题

三角函数式的求值问题

三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给

值求角．

给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同

角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．

给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．

给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．

求α＋β的值．

π π α α

已知0α4，0β4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan2＝1－tan22，

【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sinβ

＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．

【规范解答】 ∵3sinβ＝sin(2α＋β)，

∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.

∴tan(α＋β)＝2tanα.

α α

又4tan2＝1－tan22，

∴tanα＝

2tan

α

2 1

α＝2，

1－tan22

∴tan(α＋β)＝2tanα＝1.

π π

又∵0α4，0β4，

π

∴α＋β＝4.

[再练一题]

1 π 1

．已知－2x0，sinx＋cosx＝5.(1)求sin2x和cosx－sinx的值；

sin2x＋2sin2x

(2)求

1－tanx

的值．

1 1 24

【解】 (1)由sinx＋cosx＝5，平方得1＋sin2x＝25，所以sin2x＝－25.

π

因为－2x0，所以cosxsinx，

7

所以cosx－sinx＝ 1－2sinxcosx＝5.

sin2x＋2sin2x 2sinxcosx＋2sin2x

(2)

1－tanx

＝ sinx

1－cosx

2sinx?cosx＋sinx?

＝ cosx－sinx

cosx

cosx＋sinx 24 1 24

cosx－sinx＝sin2x ＝－25×7＝－175

cosx－sinx

三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．

三角函数式的化简

化简：

2sin130°＋sin100°?1＋3tan370°?

(1) ；

1＋cos10°

cos??π＋x??－sin?π＋x??

?4 ? ??4 ?

? ? ?(2) ?π ?

? ? ?

cos??4＋x?＋sin?4＋x??

【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解．(2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简．

2sin50°＋

2sin50°＋sin80°?1＋3tan10°?

2·cos5°

cos10°＋

cos10°＋3sin10°cos10°

2cos5°＝

2cos5°

2sin50°＋2sin40° 2?sin50°＋cos50°?

2cos5°＝ ＝

2cos5°

2cos5°

2 2sin?50°＋45°?

＝

2cos5°

＝2.

?π ?

π ?π ?

1－tan??4＋x?? tan4－tan?4?＋x?

?(2)原式＝

?

?π ＝ π π

? ? ?1＋tan??4＋x?? 1＋tan4·tan??4

? ? ?

＝tan??4－4

＝tan??4－4－x?＝－tanx.

?

[再练一题]

1

化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2αcos2β.

2

1

【解】 原式＝