高中数学北师大版选修23学案112 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 含解析.docx

第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点)

会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点)

[基础·初探]教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别

阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分，完成下列问题．

两个计数原理的联系与区别：

原理

原理

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同

把一个原始事件 事件来完成

点

与分类有关

与分步有关

每一步得到的只是 结果，任何一步都不可能

不同

点

每类方法都能 这件事，

它们是相互 的，且每一

这件事，缺少

次得到的都是最后结果，只需

都不可能完成这件事，只有

方法就可以完成这件

都完成了，才能完

事

成这件事

各类方法之间是互斥的，并列 各步之间是有关联的，不独立

各类方法之间是互斥的，并列 各步之间是有关联的，不独立

的，独立的

的

【答案】分解成若干个 完成 独立 一种 中间 独立地完成 任何一

步 各个步骤

1．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为 ．

【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.

【答案】 24

2 ( )( )( ) ．a＋a＋a b＋b＋b c＋c＋c＋c

2 ( )( )( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 4

【解析】 该展开式中每一项的因式分别来自a＋a＋a，b＋b＋b，c

1 2 3 1 2 3 1

3＋c＋c＋c中的各一项．由a，a，a中取一项共 种取法，从b，b，b中

3

2 3 4 1 2 3 1 2 3

3取一项有 种不同取法，从c

3

1

，c，c，c

2 3 4

中任取一项共4种不同的取法．由分

步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项)．

【答案】 36

3．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为 ．

【解析】 根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1

＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．

【答案】 18

用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有 个．

【解析】 分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2

＝18个不同的四位数．

【答案】 18

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：疑问2：解惑：

[小组合作型]

抽取

抽取(分配)问题

高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其

中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )

A．16种

C．37种

B．18种

D．48种

甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有 ．

【精彩点拨】 (1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．

(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．

【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.

(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来

取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1

＝9(种)．

【答案】(1)C(2)9

求解抽取(分配)问题的方法

当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．

当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加

法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．

[再练一题]

1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？

【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；

第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择．根据分步乘法计数原理得：

共有方法数N＝5×4×3＝60.

法二 (以盒子