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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛
广西赛区选拔赛试题
(考试时间:2024年5月19日9:00-11:30)
一、填空题(大题共8小题,每小题10分,共80分).
1.设函数/3)=|1袈2乩若。且则。+202仙的取值范围是.
22
马匕=1/unApZF.MF^-
2.已知椭圆。2b2顷”刃的焦点为%,七,肱为椭圆上一点,3,
OM=^-b
3,则椭圆的离心率为.
3.若正实数X,y满足X-2打=】2x—y,则工的最大值为.
4.方程3、=入’的正整数解为.
5•设%遍,%、4均是正整数,且{w却■/•〈心}={18,36,54}则茶+易+想+、4=
6.正三棱锥P-^BC中,AP=3,AB=4,设D是直线8C上一点,面人尸。与直线8。夹角为
45。,则线段知的长度是.
7.已知四次多项式产-25/+破2+61X—2024四个根中有两个根的乘积是-253,则实数
8.设数列满足*1=2001,+1=%+/,其中儿等于%的个位数,则2024=•
二、解答题(大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)
9.如图所示,AD=CD,DP=EP,BE=CE,DPADBE,
ZADC=ZDPE=ZBEC=90。.证明:户为线段AB中点.
10.设A为数集{1,Z•••,2024}〃元子集,且a中的任意两个数既不互素又不存在整除关系・求〃的最
大值.
11.用[可表示不超过工的最大整数.设数列低}满足:=鸟+[1氏」.求5的个位
数.
12.图G是指一个有序二元组(V,E),其中V称为顶点集,E称为边集.一个图G中两点加y的距离
是指从到y的最短路径的边数,记作(%,〉).一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值,记
作dia(G],即dia(G]=max(6/(x,y)|x,yeG}记Z〃={[0],[1],[2],..・加-1]}是模〃的剩余类,
定义Z〃上的加法和乘法,均是模〃的加法和乘法,例如在乙2={[°],[1],[2]广・,[11]}中[3]+[4]=[7],
[6]+[9]=[3];[3]-[4]=[0][6][9]=[6]在Z“中,设[上回若存在[小[。]使得
Eb]=[°],则称E是z〃的一个零因子.记z〃的所有零因子的集合为d(z〃).例如
Q(Zi2)={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z.的零因子图,记为「0),它是以。仁)为顶点集,两个
不同的顶点E,[刃之间有-条边相连当且仅当Eb卜回.下图是「(A)的例子.证明:对-切的
整数〃22,都有ds(「(Z〃))3.
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛
广西赛区选拔赛试题
(考试时间:2024年5月19日9:00-11:30)
一、填空题(大题共8小题,每小题10分,共80分).
1.设函数,3)=1曜刀|.若且f(Q)=f。),则q+2024如勺取值范围是.
【答案】(2025,q)
【解析】
2024
【分析】由题意得0alb且沥=1,从而•+2024Z?=i+——,ae(0,l),利用对勾函数的单
a
调性求解.
【详解】由/(a)=/(/?),ab
|log2a|=|log2Z?|,log2alog2b,
所以log2。v0vlog2b,-log2a=log2b,
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