2024年全国中学生奥林匹克竞赛（广西赛区）选拔赛数学真题（学生版+解析版） .pdf

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛

广西赛区选拔赛试题

（考试时间：2024年5月19日9：00-11：30）

一、填空题（大题共8小题，每小题10分，共80分）.

1.设函数/3）=|1袈2乩若。且则。+202仙的取值范围是.

22

马匕=1/unApZF.MF^-

2.已知椭圆。2b2顷”刃的焦点为％,七，肱为椭圆上一点，3，

OM=^-b

3,则椭圆的离心率为.

3.若正实数X,y满足X-2打=】2x—y,则工的最大值为.

4.方程3、=入’的正整数解为.

5•设％遍,%、4均是正整数,且｛w却■/•〈心｝=｛18,36,54｝则茶+易+想+、4=

6.正三棱锥P-^BC中，AP=3,AB=4,设D是直线8C上一点，面人尸。与直线8。夹角为

45。，则线段知的长度是.

7.已知四次多项式产-25/+破2+61X—2024四个根中有两个根的乘积是-253,则实数

8.设数列满足*1=2001,+1=%+/,其中儿等于％的个位数，则2024=•

二、解答题（大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）

9.如图所示，AD=CD,DP=EP,BE=CE,DPADBE,

ZADC=ZDPE=ZBEC=90。.证明：户为线段AB中点.

10.设A为数集｛1，Z•••,2024｝〃元子集，且a中的任意两个数既不互素又不存在整除关系・求〃的最

大值.

11.用[可表示不超过工的最大整数.设数列低}满足：=鸟+[1氏」.求5的个位

数.

12.图G是指一个有序二元组（V,E）,其中V称为顶点集，E称为边集.一个图G中两点加y的距离

是指从到y的最短路径的边数，记作（％，〉）.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记

作dia（G]，即dia（G]=max（6/（x,y）|x,yeG}记Z〃={[0],[1],[2],..・加-1]}是模〃的剩余类，

定义Z〃上的加法和乘法，均是模〃的加法和乘法，例如在乙2={[°]，[1]，[2]广・，[11]}中[3]+[4]=[7],

[6]+[9]=[3]；[3]-[4]=[0][6][9]=[6]在Z“中，设[上回若存在[小[。]使得

Eb]=[°],则称E是z〃的一个零因子.记z〃的所有零因子的集合为d（z〃）.例如

Q（Zi2）={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z.的零因子图，记为「0）,它是以。仁）为顶点集，两个

不同的顶点E,[刃之间有-条边相连当且仅当Eb卜回.下图是「（A）的例子.证明：对-切的

整数〃22,都有ds（「（Z〃））3.

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛

广西赛区选拔赛试题

（考试时间:2024年5月19日9：00-11：30）

一、填空题（大题共8小题，每小题10分，共80分）.

1.设函数，3）=1曜刀|.若且f（Q）=f。），则q+2024如勺取值范围是.

【答案】（2025,q）

【解析】

2024

【分析】由题意得0alb且沥=1,从而•+2024Z?=i+——，ae（0,l）,利用对勾函数的单

a

调性求解.

【详解】由/(a)=/(/?),ab

|log2a|=|log2Z?|,log2alog2b,

所以log2。v0vlog2b,-log2a=log2b,