人教高一数学指数函数讲义.doc

第四节、指数函数

一、初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且∈*．

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示。

． 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（0）。

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

思考：=一定成立吗？

结论：当是奇数时，

当是偶数时，

例1、（1）

（2）=

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义

规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．有理指数幂的运算性质

（1）· ；

（2） ；

（3） ．

无理指数幂：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。

例2、化简（1）

（2）

例3、已知函数,若则a=（）

例4、已知（）

二、指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

注意：（1）指数函数中的系数为1；

（2）底数是大于0且不等于1的常数。

（3）指数就是自变量x，是变量。

例5、函数为指数函数，求的取值范围。

（二）指数函数的图象和性质

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？

3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

总结：（1）指数函数对于，函数增减性完全相反，因而在做题时，千万不要忘记分类讨论的思想；

（2）指数函数恒过（0,1）点；

（3）对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在y轴右侧，图像从上到下，相应的底数由大变小，而在y轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。所以指数函数的值按逆时针的方向变大。

（4）函数关于y轴对称。

例6、a,b,c,d是不等于1的实数，右图为分别以a、b、c、d为底的指数函数的图像，则a、b、c、d四个数的大小关系为（）

例7、（1）函数恒过定点P，则P点的坐标是（）

（2）函数（）的图像恒过点A，下列函数图象不过点A的是（）

B、

C、 D、

例8、比较指数的大小（五三：p27）

画图比较：

（1）比较和的大小

比较的大小

比较的大小

对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幂比较大小，则可以通过一些中间值来比较。

设，则的大小关系为（）

（3）已知，试比较a，b，c的大小。

（三）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

（4）当时，若，则；

例9、已知实数满足等式，下列五个关系式中（1）；

；（3）ab0；（4）；（5）；其中不可能成立的是（）

A、1个B、2个

C、3个D、4个

例10、（1）解不等式

（2）求的单调区间。

（3）求的单调区间。

（4）求的单调区间。

与指数函数有关的复合函数问题。

例11、求函数的单调区间。