高中数学北师大版选修22学案13 反证法 含解析.docx

§3 反证法

了解间接证明的一种基本方法——反证法.

理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)

掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难

点)

[基础·初探]

教材整理 反证法

阅读教材P13～P14“例3”以上内容，完成下列问题.1.反证法的定义

在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.

2.反证法证明的思维过程

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.

用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：

肯定条件p， 导致逻 “p且﹁q” “若p则q”

否定结论q

辑矛盾→为假

-为真

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )

反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( )

反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )

【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.

(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：

[小组合作型]

用反证法证明否定性命题

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设b

＝Sn(n∈N)，求证：数列{b}中任意不同的三项都不可能成为等比

数列.

n n ＋ n

1

【精彩点拨】 第(1)问应用a

＝a＋(n－1)d和S＝na＋

n(n－1)d两式求

n 1 n 1 2

解.第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.

【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得

1?a＝2＋1，

1

?

?3a1＋3d＝9＋3 2，

∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2).

证明：由(1)得b Sn n＋2.

n＝n＝

q假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2＝

q

b

bb

pr

即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，

∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.

?q2－pr＝0，

∵p，q，r∈N，∴?

＋ ?2q－p－r＝0，

?p＋r?2

??∴? 2 ?＝pr，(p－r)2＝0，

?

?

∴p＝r，这与p≠r矛盾.

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.

反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.

常见否定词语的否定形式如下表所示：

否定词语没有

不大于不等于不存在

否定词语的否定形式有

大于等于存在

[再练一题]

x－2

1.已知方程f(x)＝ax＋ (a1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根.

x＋1

【证明】 假设x

是方程f(x)＝0的负数根，则x

0，x

≠－1

x0－2

0

＋1＝0 x0－

＋1

0 0 且ax0＋

x0

x

，所以ax0＝－x＋.

0 1

又当x

0时，0ax

1，故0

x0－2 ，

— 1

0 0 x0＋1

1

2 0即0－1＋ 3 1，1 3 2，解得x

2 0

x0＋1 x0＋1

这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根.

用反证法证明“至多”“至少”问题

4 4 4

已知x，y，z均大于零，求证：x＋y，y＋z，z＋x这三个数中至少有

一个不小于4.

【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明.

4 4 4

【自主解答】 假设x＋y，y＋z，z＋x都小于4，

4 4 4

即x＋y4，y＋z4，z＋x4，

?

? ? ? ? ? ?

于是得??x＋y??＋??y＋z??＋??z＋x??12，

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

而?