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§3 反证法
了解间接证明的一种基本方法——反证法.
理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)
掌握反证法证题的基本步骤,会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难
点)
[基础·初探]
教材整理 反证法
阅读教材P13~P14“例3”以上内容,完成下列问题.1.反证法的定义
在证明数学命题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
2.反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示:
肯定条件p, 导致逻 “p且﹁q” “若p则q”
否定结论q
辑矛盾→为假
-为真
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )
反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理.( )
反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )
【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它属于间接问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:
[小组合作型]
用反证法证明否定性命题
等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+3 2.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设b
=Sn(n∈N),求证:数列{b}中任意不同的三项都不可能成为等比
数列.
n n + n
1
【精彩点拨】 第(1)问应用a
=a+(n-1)d和S=na+
n(n-1)d两式求
n 1 n 1 2
解.第(2)问先假设存在三项bp,bq,br成等比数列,再用反证法证明.
【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得
1?a=2+1,
1
?
?3a1+3d=9+3 2,
∴d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).
证明:由(1)得b Sn n+2.
n=n=
q假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b2=
q
b
bb
pr
即(q+2)2=(p+2)(r+2),
∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.
?q2-pr=0,
∵p,q,r∈N,∴?
+ ?2q-p-r=0,
?p+r?2
??∴? 2 ?=pr,(p-r)2=0,
?
?
∴p=r,这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适合应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
常见否定词语的否定形式如下表所示:
否定词语没有
不大于不等于不存在
否定词语的否定形式有
大于等于存在
[再练一题]
x-2
1.已知方程f(x)=ax+ (a1),证明:方程f(x)=0没有负数根.
x+1
【证明】 假设x
是方程f(x)=0的负数根,则x
0,x
≠-1
x0-2
0
+1=0 x0-
+1
0 0 且ax0+
x0
x
,所以ax0=-x+.
0 1
又当x
0时,0ax
1,故0
x0-2 ,
— 1
0 0 x0+1
1
2 0即0-1+ 3 1,1 3 2,解得x
2 0
x0+1 x0+1
这与x00矛盾,所以假设不成立,故方程f(x)=0没有负数根.
用反证法证明“至多”“至少”问题
4 4 4
已知x,y,z均大于零,求证:x+y,y+z,z+x这三个数中至少有
一个不小于4.
【精彩点拨】 本题中含有“至少”,不宜直接证明,故可采用反证法证明.
4 4 4
【自主解答】 假设x+y,y+z,z+x都小于4,
4 4 4
即x+y4,y+z4,z+x4,
?
? ? ? ? ? ?
于是得??x+y??+??y+z??+??z+x??12,
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
而?
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