高中数学北师大版选修22学案21 变化的快慢与变化率 含解析.docx

§1 变化的快慢与变化率

了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)

知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1 函数的平均变化率

P P 1 .阅读教材 ～ “练习

P P 1 .

25 27

定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从

f(x)变为f(x)，它的平均变化率为f（x2）－f（x1）

1 2 x2

.

－x1

通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以

表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy f（x2）－f（x1）

＝ .

Δx x2－x1

1 2作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x，x]上变化的快慢

1 2

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.( )

(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可

为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )

(3)

Δy y2－y1

对山坡的上、下两点 ， 中， ＝ 可以近似刻画弯曲山路的陡峭

Δx x2－x1

A B程度

A B

【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理2 函数瞬时变化率

27 30阅读教材P “练习1”以下至P “练习2”以上部分，完成下列问题

27 30

1.定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设

Δx＝x－x，Δy＝f(x)－f(x

),则函数的平均变化率是Δy＝f（x1）－f（x0）＝

1 0 1 0

Δx x1－x0

f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx .

当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.

一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1s时的瞬时速度估计是 m/s.

Δs

【解析】Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴Δt

2Δt＋（Δt）2 Δs

＝ Δt

＝2＋Δt，当Δt趋于0时，Δt趋于2.

【答案】 2

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：解惑：疑问2：解惑：

[小组合作型]

求函数的平均变化率

求函数的平均变化率

A.0.40

C.0.43

已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )

B.0.41

D.0.44

1

已知函数f(x)

(x)在自变量x从1变到2和从3变到5

＝x＋x，分别计算f

时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

【精彩点拨】 (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)

＝f(2＋0.1)－f(2)可得.

求Δx＝x

求Δx＝x2－x1

求Δy＝f（x2）－f（x）

1

计算

Δy

Δx

- →

【自主解答】 (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.

【答案】 B

(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为

2 1

f（2）－f（1）

＋2－（1＋1） 1

2－1 ＝ 1

＝2；

自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为

1 ?3 1?

f（5）－f（3）

5＋5－??

＋3?? 14

5－3 ＝

2 ＝15.

1 14 1

因为215，所以函数f(x)＝x＋x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.

求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.

第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).

＝ .第三步，求平均变化率Δy f（x2）－f（x1）

＝ .

Δx x2－x1

求平均变化率的一个关注点

f（x0＋Δx）－f（x0）

求点x0附近的平均变化率，可用 Δx

的形式.

[再练一题]

1.函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是( )

【导学号

A.2

C.2＋Δx

B.2xD.2＋(Δx)2

【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，

Δy 2Δx＋Δx2

∴ ＝ ＝2＋Δx，故选C.Δx Δx

【答案】 C

平均变化率的实际应用

平均变化率