高中数学北师大版选修22学案122 分析法 含解析.docx

2.2分析法

了解分析法的思维过程、特点.(重点)

会用分析法证明数学问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 分析法

阅读教材P

～P，完成下列问题.

9 11

分析法的定义

从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.

分析法证明的思维过程

用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：

QP1P

QP

1

P

1 2

P

P

2 3

P

得到一个明显成立的条件

综合法和分析法的综合应用

在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′若.由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.( )

分析法的推理过程要比综合法优越.( )

并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.( )

【解析】 (1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻

找使结论成立的充分条件的过程.

错误.分析法和综合法各有优缺点.

正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.

【答案】 (1)× (2)× (3)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：

解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：

[小组合作型]

应用分析法证明不等式

应用分析法证明不等式

（a－b）2 a＋b （a－b）2

已知ab0，求证： 8a

2－ab

8b .

【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.

（a－b）2a＋b （a－b）2

【自主解答】 要证 8a

2－ab

8b ，

（a－2b）2（a－b）

（

a－

2

b）2

只需证 8a

∵ab0，

8b .

（a－b）2 （a＋b）2 （a＋b）2

∴同时除以 2

，得 4a

1

4b ，

同时开方，得

a＋b a＋b

1 ，

2a 2b

只需证a＋b2 a，且a＋b2 b，即证b a，即证ba.

∵ab0，∴原不等式成立，

（a－b）2a＋b （a－b）2

即 8a

2－ab

8b .

分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.

分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.

[再练一题]

1.(2016合·肥高二检测)已知a0，求证：

1 1

1 1

a2＋a2－2≥a＋a－2.

【导学号

【证明】 要证 a2＋a2－2≥a＋a－2，

只需证

1 1

a2＋a2＋2≥a＋a＋2，

1 2

即证 a2＋a2＋2 ≥

1 2

2a＋a＋ ，

2

1

即a2＋a2＋4

1 1

a2＋a2＋4≥a2＋a2＋2

1

2a＋a

2

＋4，

只需证2

1

a2＋a2≥

1

2a＋a.

2

1 1

只需证4a2＋2≥2a2＋2＋2，

a a

1

即a2＋a2≥2.

上述不等式显然成立，故原不等式成立.

用分析法证明其他问题

用分析法证明其他问题

(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p0)焦点的弦为直径

p

的圆必与直线x＝－2相切.

【精彩点拨】

【自主解答】 如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.

1

要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′＝|2|AB|由.抛

物线的定义有|AA′＝||AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′＋||BB′，|

1

因此只需证|MM′＝|2(|AA′＋||BB′|).

根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的

p

弦为直径的圆必与直线x＝－2相切.

分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.

分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.

[再练一题]

1－tanα2.已知

2＋tanα

＝1，求证：cosα－si