高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题汇总.docx

高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题高考要求

圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整

重难点归纳

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值

典型题例示范讲解

例1已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线Cy2=2ax上运动，MN为圆k

在y轴上截得的弦

试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识错解分析在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的

技巧与方法对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+

解(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=(x0-a)2+y0=

2222a2与R=x0+a的大小2x0+a22∴|MN|=2R2-x0=2x0+a2-x0=2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a

又|MN|=|y1－y2|=2a，∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0∴0≤x0≤

圆心k到抛物线准线距离d=x0+a2a2≤a,而圆k半径R=x0+a2≥a2

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交x2y2

+例2如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其mm-1

准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值命题意图本题主要考查利用解析几何的知识建立函

数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合

知识依托直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点

技巧与方法第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||

化简第

问，利用函数的单调性求最值是常用方法

解(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0)

a2

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±mc

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)?y=x+1?考虑方程组?x2,消去y得(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)y2

=1?+?mm-1

整理得(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=-2m2m-1

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|=2=(xB－xA)22,|CD|=2(xD－xC)

∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|22=|

故f(m)=22m-2m|22=(2≤m≤5)2m1-2m22m，m∈［2,5］2m22m22，可知f(m)=12m2-m

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