考研数三1987分析和总结.docx

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、填空题（每小题2分，满分10分。把答案填在题中横线上）

设y?ln?1?ax?,其中a为非零常数，则y????.，y????.

曲线y?arctgx在横坐标为1点处的切线方程是 .；法线方程是 .

积分中值的条件是 ，结论是 。

n?2

lin(

n??

)n

n?1

???.

（5）?f?x?dx???.；?b

a

f??2x?dx???.

二、（本题满分6分）

求极限lim(1? 1 )

x?0 x

ex?1

三、（本题满分7分）

?x?5?t?sint? dy d2y

设? ? ?,求 , .

?y?51?cost dx dx2

四、（本题满分8分）

计算定积分?1xarcsinxdx.

0

五、（本题满分8分）

设D是曲线y?sinx?1与三条直线x?0,x??,y?0围成的曲边梯形。求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

六、证明题（本题满分10分）

（1）（5分）若f?x?在?a,b?内可导，且导数f??x?恒大于零，则f(x)在?a,b?内单调增加。

（2）（5分）若g(x)在x?c处二阶导数存在，且g?(c)?0,g?(c)?0.则g(c)为g(x)的一个极大值。

七、（本题满分10分）

计算不定积分? dx

（其中a,b为不全为零的非负数）

a2sin2x?b2cos2x

八、（本题满分15分）

（1）（7分）求微分方程xdy?x?y,满足条件y

dx x?

?0的解。

2

（2）（8分）求微分方程y??2y??y?xex的通解。

九、选择题（每小题4分，满分16分）

f(x)?xsinecosx,???x???是( )

有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数

函数f(x)?xsinx( )

当x??时为无穷大 (B)当x??时有极限

(C)在（??，??）内有界 (D)在（??，??）内无界

f(a?x)?f(a?x)

设f(x)在x?a处可导，则lim

x?0 x

等于( )

(A)f?(a) (B)2f?(a) (C)0 (D)f?(2a)

s设f(x)为已知连续函数，I?t?t

s

0

f(tx)dx,s?0,t?0,则I的值( )

依赖与s和t (B)依赖与s、t、x

(C)依赖与t和x，不依赖与s (D)依赖与s，不依赖与t

十、（本题满分10分）

在第一象限内，求曲线y??x2?1上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积。