多目标最优的相关概念 公式 2.docx

多目标优化问题可以表述为下面的形式（遗传多目标优化的研究中国地质大学）

1.多目标优化问题 ? ?

?minf

?

(x),f

1

(x) f

2

(x)

p

（1-1）

s.t.

g(x)?0,

i

i?1,2?m

（1-2）

h(x)?0

i

i?1,2?q

（1-3）

其中x??x,x

1 2

, ,x?T

?n

?

是带有n个决策变量的向量，满足 m个不等式约束函数

? ?

?g(x)?0和q个等式约束函数h

?

i i

(x)?0， f(x)? f

(x),f

1

(x) f

2

(x)T

p

是p个目标函

* ? ?

数，寻找x ?x*,x*,?,x*

T，使得f(x)在满足约束（1-2）和（1-3）同时达到最优。

1 2 n

Pareto最优解

我们称x*?F是最优解（就Pareto最优解），若?x?F满足：

或至少存在一个j，使：

?(f

i?I i

(x)?f

i

(x*))

（1-4）

f(x)?f(x*) （1-5）

j j

其中F是满足式（1-4）和式（1-5）的可行解集

个体间支配关系：

设Pop为一个集合，Pop中个体数为N，其中Pop中每个个体均有r个属性，fk()是每个个体的评价函数（k=1,2,?r）,Pop中个体间的关系定义为：

支配关系：

?i,j?p,若f(i)?f(j（)

k k

k?1,2,?r）

（1-6）

?且 ?l??1,2, r?,使f(i)?f(j)

?

l l

(1?7)

则称i支配j，表示为：i?j。此时i为非支配的，j为被支配的，?为支配关系。（1-6）

说明：对所有子目标i不比j差；（1-7）说明：至少存在一个子目标使i比j好。(2)不相关：

若i和j不存在支配关系，则i和j不相关。

最有边界

对于1.1.1节中定义的多目标优化问题，设它的Pareto

最优解集为PS，则Pareto最优边界定义为：

? ?

?PF*? f(X)?(f

?

1

(X),f

2

(X) f

r

(X))|X?X*

最优解是目标函数的切点，它总是落在有哪些信誉好的足球投注网站区域的边界线（面）上。如图所示，粗线段表示二个优化目标的最优边界（ParetoFront）。三个优化目标的最优边界构成一个曲面，三个以上的最优边界则构成超曲面。图中，实心点A、B、C、D、E、F均处在最优边界上，它们都是最优解（Paretopoints），是非支配的（non-dominated）；空心点G、H、I、J、K、L落在有哪些信誉好的足球投注网站区域内，但不在最优边界上，不是最优解，是被支配的（dominated），它们直接或间接受最优边界上的最优解支配。

非支配解的构造方法：

设种群Pop的规模大小为N,将群体Pop按照某种策略进行分类排序为m个子集P1，P2，?,Pm，且满足下列性质：

??①

?

?

p?p,p

1 2,

?pm

?P?Pop；

②?i,j??1,2,?m?且i?j,P?P

??；

i j

③P?P???P，即P

中的个体直接受P中个体的支配（k=1，2，?，m-1）

1 2 m

k?1 k

对Pop种群进行分类排序的目的是为了将其划分为满足上述3个性质的互不相交的子群体，分类排序依据个体之间的支配关系进行。

设两个向量?n?和?s?，其中i?Pop，n记录支配个体i的个体数，s

记录被个体i

i i i i

支配个体的集合，既有：

?n?|?k|k ii,k?Pop?|

?

i

?s??j|i ji,j?Pop?

?

i

首先通过二重循环计算每个个体的n和s：

i i

对种群中的每个个体i，初始化n=0,s??；

i i

? ?对种群中的每个个体j,若i j,则将j加入到s中,s?s j

? ?

i i i

若j?i，则为n加上1，n ?n?1

i i i

若n=0,则没有个体支配i,即i是非支配个体,将其加入第一个非支配类P,并更新第一个非支

i

配类P?P

1 1

?i?,同时将其个体的次序置为i

?rank

?

1

?1。

若第m个非支配类非空时,即P

m

??。对于P

m

中的每个