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习题课
一. 知识点回顾:
随机试验,样本空间,随机事件;随机事件时样本空间的子集,但反之不成立。即样本空间的子集不一定是随机事件。
事件的关系及运算
1)交2)并3)相等)4)包含
5)互斥6)对立7)完备组
频率与概率的定义
统计定义:频率近似于概率
M
古典定义:P(A)? N ,其中M包含事件A的基本事件个数,
N表示样本空间中的基本事件个数。4.概率加法定理
对于任意的两个事件A,B,有:
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
对于互斥的两个事件A,B,有:
P(A?B)?P(A)?P(B)
对于对立的两个事件A,B,有:
P(A?B)?P(A)?P(B)?1。
条件概率,事件的独立性
若P(A|B)?
P(AB)P(B) ,
则事件A,B相互独立。
若A,B相互独立,则A,B;A,B;A,B也相互独立。
区分开事件的两两独立(三个或三个以上的事件)和事件的独立这两个概念。
全概公式
nP(A)?? P(B
n
i
)P(A|B
i
),其中B
i
为样本空间的完备事件组。
i?1
独立试验序列,(Bernoullisequence)
P(m)?Cm
n n
例题
pm(1?p)n?m
100件产品中有25件次品,随机不放回(依次)抽出4件产品,求“仅后两件是次品的概率”与“有两件是次品的概率”。
设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用其表示出来:
仅A发生;
A,B,C都发生;3)A,B,C都不发生;
4)A,B,C不都发生;
5)A不发生,且B,C中至少有一发生;
A,B,C至少有一个发生;
A,B,C恰好有一个发生;
A,B,C至少有两个发生;
A,B,C最多有一个发生;
3)袋中有10各球,分别写有号码1-10,其中1,2,3,4,5,为红球,6,7,8为白球,9,10为黑球。设试验为:;
从袋中取一球观察其颜色;
从袋中取一球,观察其号码。
分别写出试验的基本事件及样本空间,并指出样本空间是否为等可能的。
同时投掷四个均有的骰子,求下列事件的概率:
四个骰子的点数各不相同;
恰有两个骰子的点数相同;
恰有三个骰子的点数相同;
四个骰子的点数都相同。
袋内放有2个五分,3个二分,5个一分的硬币,任取其中五个,求总数超过一角的概率。
一批产品共有20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4
件,从产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品恰有2件等级相同的概率;
(2)取出的三件产品至少有2件等级相同的概率。7)设P(A)?0,P(B)?0,试分析下列四个数的关系:
P(A),P(AB),P(A?B),P(A)?P(B)
袋中有3个白球,7个黑球,甲乙两人轮流取球,第一次甲取,第二次乙取,。。每次取一个球,取出的黑球不再放回,直到取到白球为止,求各人先取出白球的概率。
猎人在距离100米处射击猎物,击中的概率为0.6,如果第一次没有击中,进行第二次射击,但此时猎物的距离变为150米,如果第二次没有击中,则进行第三次射击,此时距离为200米。假定击中的
概率与距离成反比,求猎人击中的概率。
证明若P(A|B) P(A|B),则A,B独立。
11)
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6
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试分析以上三种连结方式的可靠性,假设每个电子元件的可靠性都是p,且各个元件都是独立工作的。12)甲乙两个篮球运动员的投篮命中率分别为:0.7,0.6.每人投篮三次,求:
两人进球数相等的概率。
甲比乙进球多的概率。
13)射击运动中,一次射击最多能得10环,设某运动员在一次射击中命中10环的概率为0.4,9环的概率为0.3,8环的概率为0.2,求该运动员在5次独立的射击中的得到不少于48环的概率。
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