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第3讲 平面向量的数量积
分层训练A级 基础达标演练
(时间:30分钟 满分:60分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.(2012·镇江统考)已知|a|=1,|b|=2,若(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为
.
解析 设a与b夹角为θ,由(a-b)⊥a,得(a-b)·a=0,又|a|=1,所以a·b
=1,所以cosθ=a·b=1=2
|a||b|
π
∵θ∈[0,π],∴θ=4.
π
答案 4
2 2,
2.(2012·山东省实验中学二模)已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p
=(-sinA,1),q=(1,cosB),则p与q的夹角是 (填锐角,钝角或直角).
π
解析 设p与q的夹角为θ,则由△ABC是锐角三角形,得A+B>2,所以A
? ?π
? ?
>2-B,sinA>sin??2-B??=cosB,所以p·q=-sinA+cosB<0,即cosθ<0,
θ为钝角.
答案 钝角
3.(2010·江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|
= .
a2+b2-2a·b解析 |a-b|
a2+b2-2a·b
= 12+22-2×1×2cos60°=3.
3答案
3
4.(2012·苏州调研)设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已
知AB=3,AC=6
→·→ .
,则AEAF=
解析 由B→E=2E→C,得A→E-A→B=2(A→C-A→E),所以A→E=
1→ 2→
- 2→ 1→ → → →→
3AB+3AC.同理AF=3AB+3AC,又AB⊥AC,所以AE·AF
?1→ 2→??2→ 1→? 2→2 2→2 2 2
=??3AB+3AC??·??3AB+3AC??=9AB+9AC=9×9+9
×36=10.
答案 10
5.(2011·南京模拟)在△ABC中,已知BC=2
→·→
1,则△ABC的面积S
最大值是 .
,ABAC=
△ABC
解析 以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0).
设A(x,y)则A→B=(-1-x,-y),A→C=(1-x,-y),于是A→B·A→C=(-1-x)(1
-x)+(-y)(-y)=x2-1+y2.
由条件A→B·A→C=1知x2+y2=2,这表明点A在以原点为圆心,2为半径的圆上.
当OA⊥BC时,△ABC面积最大,即
1
S =×2×2=2.
△ABC 2
6.(2011·南通模拟)已知O是△ABC的内部一点,O→A+O→B+O→C=0,A→B·A→C=2,且∠BAC=60°,则△OBC的面积为 .
ABACABAC=|ABAC解析 由A→B·A→C=|→||→|cos60°=2,得|→||→|=4,S 1→||→|sin
AB
AC
AB
AC
=
|AB
AC
3= → → →
3
△ABC 2
1 3
,由OA+OB+OC=0知,O是△ABC的重心,所以S =S = .
3
答案 3
二、解答题(每小题15分,共30分)
△OBC
3△ABC 3
7.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,
-1).
求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
AB-tOCOC=设实数t满足(→ →
AB-tOC
OC=
0,求t的值.
解 (1)法一 由题意知A→B=(3,5),A→C(-1,1)则A→B+A→C=(2,6),A→B-A→C=
(4,4),∴|A→B+A→C|=2 10,
|A→B-A→C|=4 2.
故所求的两条对角线的长分别为2 10,4 2.
法二 设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为
BC的中点,故E(0,1).
又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).
∴|BC|= [2-?-2?]2+[3-?-1?]2=4 2,
|AD|= ?-1-1?2+?-2-4?2=2 10.
故所求的两条对角线的长分别为4 2,2 10.
(2)由题意知O→C=(-2,-1),A→B-tO→C=(3+2t,5+t)
由(A→B-tO→C)·O→C=0得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
11
解得t=-5.
?1 3?
??8.已知平面向量a=( 3,-1),b
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