高中数学 第五章 第3讲 平面向量的数量积.docx

第3讲 平面向量的数量积

分层训练A级 基础达标演练

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．(2012·镇江统考)已知|a|＝1，|b|＝2，若(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为

．

解析 设a与b夹角为θ，由(a－b)⊥a，得(a－b)·a＝0，又|a|＝1，所以a·b

＝1，所以cosθ＝a·b＝1＝2

|a||b|

π

∵θ∈[0，π]，∴θ＝4.

π

答案 4

2 2，

2．(2012·山东省实验中学二模)已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p

＝(－sinA,1)，q＝(1，cosB)，则p与q的夹角是 (填锐角，钝角或直角)．

π

解析 设p与q的夹角为θ，则由△ABC是锐角三角形，得A＋B＞2，所以A

? ?π

? ?

＞2－B，sinA＞sin??2－B??＝cosB，所以p·q＝－sinA＋cosB＜0，即cosθ＜0，

θ为钝角．

答案 钝角

3．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|

＝ .

a2＋b2－2a·b解析 |a－b|

a2＋b2－2a·b

＝ 12＋22－2×1×2cos60°＝3.

3答案

3

4．(2012·苏州调研)设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已

知AB＝3，AC＝6

→·→ .

，则AEAF＝

解析 由B→E＝2E→C，得A→E－A→B＝2(A→C－A→E)，所以A→E＝

1→ 2→

- 2→ 1→ → → →→

3AB＋3AC.同理AF＝3AB＋3AC，又AB⊥AC，所以AE·AF

?1→ 2→??2→ 1→? 2→2 2→2 2 2

＝??3AB＋3AC??·??3AB＋3AC??＝9AB＋9AC＝9×9＋9

×36＝10.

答案 10

5．(2011·南京模拟)在△ABC中，已知BC＝2

→·→

1，则△ABC的面积S

最大值是 ．

，ABAC＝

△ABC

解析 以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．

设A(x，y)则A→B＝(－1－x，－y)，A→C＝(1－x，－y)，于是A→B·A→C＝(－1－x)(1

－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.

由条件A→B·A→C＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．

当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即

1

S ＝×2×2＝2.

△ABC 2

6．(2011·南通模拟)已知O是△ABC的内部一点，O→A＋O→B＋O→C＝0，A→B·A→C＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为 ．

ABACABAC＝|ABAC解析 由A→B·A→C＝|→||→|cos60°＝2，得|→||→|＝4，S 1→||→|sin

AB

AC

AB

AC

＝

|AB

AC

3＝ → → →

3

△ABC 2

1 3

，由OA＋OB＋OC＝0知，O是△ABC的重心，所以S ＝S ＝ .

3

答案 3

二、解答题(每小题15分，共30分)

△OBC

3△ABC 3

7．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，

－1)．

求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

AB－tOCOC＝设实数t满足(→ →

AB－tOC

OC＝

0，求t的值．

解 (1)法一 由题意知A→B＝(3,5)，A→C(－1,1)则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝

(4,4)，∴|A→B＋A→C|＝2 10，

|A→B－A→C|＝4 2.

故所求的两条对角线的长分别为2 10，4 2.

法二 设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为

BC的中点，故E(0,1)．

又E(0,1)为AD的中点，所以D(1,4)．

∴|BC|＝ [2－?－2?]2＋[3－?－1?]2＝4 2，

|AD|＝ ?－1－1?2＋?－2－4?2＝2 10.

故所求的两条对角线的长分别为4 2，2 10.

(2)由题意知O→C＝(－2，－1)，A→B－tO→C＝(3＋2t,5＋t)

由(A→B－tO→C)·O→C＝0得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，

11

解得t＝－5.

?1 3?

??8．已知平面向量a＝( 3，－1)，b