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几何中的最值问题

一、应用两点间线段最短的公理求最值：

52如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

5

2

2?15A

2?1

5

C． 145

5

5 D．

在锐角三角形ABC中，BC=4 2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，

M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。

cm。如图，圆柱底面半径为2cm，高为9?cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为

cm。

点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，

则OP?OQ＝ ．

二、应用垂线段最短的性质求最值：

在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．

若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．

如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y?x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【 】

A.（0，0） B.（?

1，?1）

2 2

C.（

2，?

2

2） D.（?

2

2，? 2）

2 2

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

A．1 B． 3 C．2 D． 3＋1

三、应用轴对称的性质求最值：

如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB

的最小值为 ．

（第8题） （第9题） （第10题）

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【】

A．130° B．120° C．110° D．100°

11.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？

水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

四、应用二次函数求最值：

12.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别

是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，

当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．

13.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．

①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．

DPF

D

P

F

A

C

P

F

B E C N B E D N

图1 图2

314.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+ ．

3

如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；

求（1）中作出的正方形EFPN的边长；

如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正