几何中线段的最值问题.docx

几何中线段的最值问题

一、 一条线段的最值问题一

（1）借助旋转求最值

2013通州一模

已知：AD?2，BD?4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.

如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；

当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小.

C

A

D B

2011丰台一模

已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:

如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠

ACB的度数.

C

DCC D

D

C

A B A B

A B

D

图1 图2 图3

借助直角三角形性质求最值

勾股定理

直角三角形斜边中线等于斜边一半

直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．

【例1】如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是

【例2】如图，△ABC是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A在x轴上。

②求出AC边上的高线BD的长度；

③当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值；

④已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。

2011海淀一模

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，

2

F为BD中点.

若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF kEF，则k= ；

若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

EFEF

E

F

E

F

D

D

C B C B C B

图1 图2 备图

2010海淀一模

25.已知：△AOB中，AB?OB?2，△COD中，CD?OC?3,∠ABO?∠DCO.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

BAMOP

B

A

M

O

P

N

D

MOPN

M

O

P

N

图1 图2

；如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?60o，则△PMN的形状是 ，此时AD?

；

BC

如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?2?，证明△PMN∽△BAO，并计算AD

BC

的值（用含?的式子表示）；

在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF

于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

（3）与圆相关

2014燕山

如图1，已知?ABC是等腰直角三角形，?BAC?90?,点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；

将正方形DEFG 绕点D逆时针方向旋转?(0????360?)，

①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC?DE?4，当AE取最大值时，求AF的值．

2013昌平一模

24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆