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2009年第一届全国大学生高等数学竞赛预赛试题及答案
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
解令,则,,
(*)
令,则,,,,
2.设是连续函数,且满足,则____________.
解令,则,
,
解得。因此
3.曲面平行平面的切平面方程是__________.
解因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,
即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面
的切平面方程是。
4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则________________.
解法1方程的两边对求导,得
即
因,故,即,因此
解法2方程取对数,得(1)
方程(1)的两边对求导,得(2)
即(3)
方程(2)的两边对求导,得(4)
将(3)代入(4),得
将左边的第一项移到右边,得
因此
二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.
解法1因
故
因此
解法2因
故
三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.
解由和函数连续知,
因,故,
因此,当时,,故
当时,
,
这表明在处连续.
五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和
,
知,
二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线过原点,故,于是
即
而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为
即
令
,
得
即
因此
,,.
七、(15分)已知满足,且,求函数项级数之和.
解
,
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由知,,
于是
下面求级数的和:
令
则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令,得,因此级数的和
八、(10分)求时,与等价的无穷大量.
解令,则因当,时,,故
在上严格单调减。因此
即
又
,
,
所以,当时,与等价的无穷大量是。
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
(150分钟)
一、(25分,每小题5分)
(1)设其中求
(2)求。
(3)设,求。
(4)设函数有二阶连续导数,,求。
(5)求直线与直线的距离。
解:(1)=
===
(2)
令x=1/t,则
原式=
(3)
(4)略(不难,难得写)
(5)用参数方程求解。答案好像是
第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷
一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)计算下列各题(要求写出重要步骤).
(1)
解:
(2)
解:(令)
(3)设函数有二阶连续偏导数,满足且,是由方程所确定的函数.求
解:依题意有,是函数,、是自变量。将方程两边同时对求导,,则,于是
(4)求不定积分
解:
(5)求曲面和所围立体的表面积
解:联立,,解得两曲面的交线所在的平面为,
它将表面分为与两部分,它们在平面上的投影为,
在上
在上
则
二、(本题13分)讨论的敛散性,其中是一个实常数.
解:记
①若,;则发散
②若,则,而;所以
发散。
③若,即,考级数敛散性即可
当时,
对任何,我们有
这样,存在,使得.
从而可知,当,时,所讨论的积分收敛,否则发散。
六、(本题共16分,第1小题6分,第2小题10分)
(1)求解微分方程
(2)如为上述方程的解,证明
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)
1.求极限.
解因为………(2分);
原式
…………………………(2分);………(2分)
2.证明广义积分不是绝对收敛的
解记,只要证明发散即可。…………(2分)
因为。……………(2分)
而发散,故由比较判别法发散。……(2分)
3.设函数由确定,求的极值。
解方程两边对求导,得…(1分)
故,令,得或………(2分)
将代入所给方程得,
将代入
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