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浅谈解析几何的解题思路

这篇文章主要是服务于我们解析几何的系列课程，上周课程为

同学们勾勒出解析几何（圆锥曲线）的基本解题框架，虽然很多

“精气神”的东西只有在课堂上才能体现，我还是想要把大概的

思路，以文字的形式呈现出来，以备同学们不时之需。

在圆锥曲线的大题中，大部分同学都有这样的感受：“看得见

却摸不着”，思路易得，结果难求。的确如此，运算量太大，即

使想通也是很难算出结果的，这在很大的程度上影响了同学们的

学习信心，让他们望而生畏，导致成绩再次两极分化，然而相当

一部分解几的题目，都是与同学们的解题思路有关的，只有把握

了问题的本质，精心构思，合理运算，就能快速解决，得出正确

答案，从而提高解题效率，增强其自信。

圆锥曲线一般在高考这样的综合试卷中会占20分以上，即小题

5-10分，大题14分以上。从试题命制上看，小题和大题的解题思

路和方法又是截然不同的。小题多考察三大曲线的定义、几何图

形及简单运算，考双曲线常涉及渐近线，考抛物线常涉及定义，

具体体现在焦点三角形、弦的分点、焦半径等问题，其中以离心

率为代表性题型，可以考察同学们的综合能力，往往其解题思路

就是从定义和几何图形入手，即可！大题部分，第一问一般处理

相关轨迹问题，较简单，通常通过定义和解方程可求得；第二问、

第三问会考察学生的综合能力，比如要求同学们能够处理直线和

曲线的位置关系，问题体现为求点、求值、定点、定值、最值等，

就是体现它作为压轴boss的威力。当然解几虽难，同学们也不用

怕，只有理清算理，合理运算，并可力挽狂澜。

下面我就给同学们道出原委：“解析几何首先是几何，然后才

需是解析，几何是根本，解析是手段。解析几何解题首先要识图，

认识图形中的定点、动点，分析图形中的各种度量，然后再选择

恰当的解题策略进行解析。”王丙峰。这里我浅谈三种主流方

法，希望同学们要烂熟于心，运用自如。

方法一，背景演绎法，也是我最推崇的一种方法，行之有效。

因为解析几何早在笛卡尔时代就玩透了，所以现在很多考题都是

有背景和原型的。平时撸题够多的同学，再多总结一些二级结论，

就能体会我的话，就会发现很多题目就考的同一个知识点，只是

不同情形下的混编。若火眼金睛看穿马甲，解题当然快很多。从

命题老师角度来讲，也是追求的稳中有变，更何况难题也怕出错，

搞成笑柄，所以这样的题型在综合卷上屡见不鲜。常见的以圆锥

曲线第三定义、极点极线、斜率定比、几何性质等为背景的题型

比较多，核心就是找出原模型，以模型背景为基础，巧设变量。

解题过程中，一般以中间量为变量，由简单关系向复杂关系转化，

把最复杂的关系作为最后关系建立等式或不等式。

方法二、直曲联立法，这个方法就是“死算”，但遇到我们不

用“死算”，用上我教你们的“猛男公式”，适当的反设、对称

设、整体替换、同理可得，并有四两拨千斤之功效。这些方法课

堂上都会一一阐述讲解，同学们课程一定要自己感悟才能细致入

味，千万不要怕算，其实“猛男公式”背好，算也只是个形式，

同时要展现自己思考问题的心路历程，尽可能地说清楚我为什么

要这么想、为什么要这么做，让每一道题的解答方法都有其合理

性，让每步的推导都能够水到渠成，这样即使你是“伪证”的，

过程还是完美的！

方法三、设点相消法，此方法看似巧，实则严重套路。点动成

线，线动成面，设点法在理论中当然是完全可行的——将题设条

件都用坐标表示，将待求或待证的结果也坐标化，再通过一系列

代数变形架起这两者之间的桥梁即可.但是，它难就难在代数变形

上面，所以设点法也未曾在高中数学教学中受到重视，我们经过

一段时间的研究，终于有所体会和心得，基本上都在我们课程

里体现出来了。一般出现在曲线上一个动点问题，设其动点（或

主动点），这一设就是故意绕开直曲联立的计算，处理绝大部分

的定性问题或部分有设点特征的题型很方便，最后一定要出现y

方比x方减a方的局部或全部才可以，这样就可以套用曲线方程

整体相消，其中绝妙处，还望同学们在解题的过程中慢慢体会，

一旦参悟，真正提高。

再者，解题的思路方法是从数学内容中提取出来的数学知识的

精髓,是将知识转化为能力的桥梁。解析几何是用代数方法研究几

何问题的学科，高中只是基础，大学会更深入的研究。方程是刻

画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，

数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰。在圆锥曲线

中