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第四章多自由度系统振动3《振动力学》

多自由度系统振动教学内容?多自由度系统的动力学方程?多自由度系统的自由振动?频率方程的零根和重根情形?多自由度系统的受迫振动?有阻尼的多自由度系统2023/9/12星期二《振动力学》2

多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程小结：作用力方程、位移方程和矩阵作用力方程位移方程量矩：M中的元素m是使系统仅在第j个坐标上产生单ij位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。度矩：K中的元素k是使系统仅在第j个坐标上产生单位ij位移而相应于第i个坐标上所需施加的力。柔度矩：F中的元素f是使系统仅在第j个坐受到位力ij作用相于第i个坐上生的位移.柔度矩与度矩的关系：2023/9/12星期二位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。3《振动力学》

多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程小结：耦合与坐标变换质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。不出现惯性耦合时，一个坐标上不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力.产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择同一个系统选择两种不同的坐标X和Y有变换关系：其中T是非奇异矩阵坐标X下系统：坐标Y下系统：对角阵如果恰巧Y是主坐标：2023/9/12星期二4这样的T是否存在？如何寻找？《振动力学》

多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程当T矩阵非奇异时，称矩阵A与矩阵（TAT）合同。T线性代数知:合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。若矩阵A对称，则（TTAT）对称。对称性质：证明：矩阵A对称，A＝AT则有：(TTAT)TTTTA(T)T＝TATT＝T正定性质：若原来的刚度矩阵K正定，则（TKT）仍正定。T因此坐标变换X＝TY不改变系统的正定性质。对于质量矩阵也如此。2023/9/12星期二《振动力学》5

回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动小结：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。2023/9/12星期二6《振动力学》

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动?多自由度系统的自由振动?固有频率?模态?模态的正交性?主质量和主刚度?模态叠加法?模态截断法2023/9/12星期二《振动力学》7

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动?多自由度系统的固有频率作用力方程：和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。自由振动方程：在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。2023/9/12星期二《振动力学》8

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动三自由度系统振动形式1振动形式2振动形式3同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。2023/9/12星期二《振动力学》思考：同步振动是不是解耦振动？9

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动?多自由度系统的固有频率作用力方程：和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。自由振动方程：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。常数列向量运动规律的时间函数代表着振动的形状2023/9/12星期二《振动力学》10

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率代入，并左乘：：常数M正定，K正定或半正定对于非零列向量：令：对于正定系统必有对于半正定系统，有2023/9/12星期二《振动力学》11

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率a、b、为常数主振动（1）正定系统只可能出现形如的同步运动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。（2）半正定系统可能出现形如也可能出现形如的同步运动。的同步运动（不发生弹性变形）。2023/9/12星期二《振动力学》12

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率首先讨论正定系统的主振动：正定系统：M正定，K正定主振动：将常数a并入中代入振动方程：特征方程有非零解的充分必要条件：2023/9/12星期二《振动力学》13

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率频率方程或特征多项式解出n个值，按升