多元函数的极值及求法课件.pptVIP

第八节多元函数的极值及求法一、多元函数的极值与最值二、条件极值拉格朗日乘数法扬州环境资源职业技术学院基础部

一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义z=f(x,y)设函数在点(x,y)的某邻域00(x,y)内有定义，对于该邻域内异于(x,y)的点00，则称函数在若满足不等式f(x,y)f(x,y)00(x,y)f(x,y)f(x,y)有极大值；若满足不等式0000则称函数在(x,y)有极小值；00极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点扬州环境资源职业技术学院基础部

=2+2z3x4y函数例1在(0,0)处有极小值．(1)(2)例２=-2+2xy函数z在(0,0)处有极大值．z=xy例３函数(3)在(0,0)处无极值．扬州环境资源职业技术学院基础部

2、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）=(x,y)在点zf(x,y)设函数00具有偏导数，且处有极值，则它在该点的偏导数必(x,y)在点00然为零：f(x,y)=0fxy=(,)0，.x00y00证不妨设z=f(x,y)(x,y)在点处有极大值,00(x,y)00则对于的某邻域内任意f(x,y)f(x,y)都有,00扬州环境资源职业技术学院基础部

时，有y=yx1xfxyfxy(,)(,)故当，0,00000处有极大值,f(x,y)x=x说明一元函数在0f(x,y)=0;必有x00u=f(x,y,z)P(x,y,z)推广如果三元函数具有偏导数，则它在件为在点0有极值的必要条00P(x,y,z)000f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0，，x000y000f(x,y,z)=0.z000扬州环境资源职业技术学院基础部

均称为函数的驻点.注意：驻点极值点=例如,(0,0)点是函数zxy问题：如何判定一个驻点是否为极值点？的驻点，但不是极值点.定理2（充分条件）=(x,y)zf(x,y)设函数00在点有一阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续，扬州环境资源职业技术学院基础部

==f(x,y)0f(x,y)0又,x00y00，==f(x,y)Af(x,y)B令，xx00xy00，=f(x,y)C，yy00则f(x,y)在点(x,y)00处是否取得极值的条件如下：时具有极值，-2ACB0（1）当A0时有极大值，当A0（2）ACB-20时没有极值；时有极小值；-2=ACB0（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．扬州环境资源职业技术学院基础部

例4求函数的极值先解方程组解求得驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,扬州环境资源职业技术学院基础部

又在点处，所以函数在处有极小值所以在点处，不是极值；在点处，所以不是极值；扬州环境资源职业技术学院基础部

所以函数在处有极大值扬州环境资源职业技术学院基础部

求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.(x,y)第二步对于每一个驻点，00ABC.求出二阶偏导数的值、、-2ACB第三步定出的符号，再判定是否是极值.扬州环境资源职业技术学院基础部

3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.扬州环境资源职业技术学院基础部

例5某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解设水箱的长为宽为则其高应为则水箱所用材料的面积求偏导数得扬州环境资源职业技术学院基础部

根据题意可知，水箱所用材料面积得最小值一定存在，内取得。又函数在并在开区域时，内只有唯一的驻点取得最小值。即当水箱的长为为因此当宽为高时，水箱所用的材料最省。扬州环境资源职业技术学院基础部

例6a24x24-xa扬州环境资源职业技术学院基础部

倾角为解设折起来的边长为则各边长如图示，所求面积求偏导数得解方程组得由题义知这就是极大值点扬州环境资源职业技术学院基础部

二、条件极值拉格朗日乘数法实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他