第25讲 递堆方法 （讲义）-2023-2024学年五年级数学人教版.docxVIP

第25讲递堆方法

专题概述

递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。采取递推法时经常需要猜测、验证，需要发散思维多角度思考问题。在解决这类问题的过程是：发现挖掘第一步的特征，发现挖掘第二步的特征与第一步的特征相似处，继而发现第n步的特征从而进行解题。

典型例题1

如图所示，线段AB上共有10个点(包括两个端点)，那么这条线段上一共有多少条不同的线段?

AB

分析先从A、B之间只有一个点开始，再逐步增加A、B之间的点数，找出点和线段之间的规律。

解我们可以采用列表的方法清楚地表示出点和线段数之间的规律。

A、B之间只有1个点:线段有1+2=3(条);

A、B之间只有2个点:线段有1+2+3=6(条);

A、B之间只有3个点:线段有1+2+3+4=10(条);

A、B之间只有4个点:线段有1+2+3+4+5=15(条)……

不难发现,当A、B之间有8个点时,线段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(条)。

若再进一步研究可得出这样的规律：线段数=点数×(点数——1)÷2。

思维训练1

1.有10只盒子，44只乒乓球，能不能把44只乒乓球放到盒子中去，使各盒子里的乒乓球数不相等?

2.小刚计算从1开始若干个连续自然数的和，结果误把1当成10来算，所得错误结果恰为100。你能帮助小刚纠正错误吗?小刚算的是哪些自然数的和?

典型例题2

2000个学生排成一行，依次从左到右编上1~2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍……按这个规律如此下去，直至队伍只剩下一人为止。问最后留下的这个人原来的号码是多少?

分析我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

解第一次留下的学生编号是2，4，6，8，10……都是2的倍数，即21的倍数；

第二次留下的学生编号是4,8,12,16,20……都是4的倍数,即22的倍数;

第三次留下的学生编号是8,16,24,32,40……都是8的倍数,即23的倍数……

故第n次留下的学生编号都是2的倍数。

由于102420002048,所以,最后留下的学生原来的号码一定是1024。

思维训练2

小吉参加了一次数学测试。计分规则是：每答对1题得5分，时间是1小时。她答对了所有她回答的问题。如果她回答第一题用了1秒钟，第二题用了2秒钟，第三题用了4秒钟……如此下去，每一题都用了前一题答题时间的2倍，那么小吉得了多少分?

2.小明同学想登录学校的网站，查看自己的期末考试成绩，可他却忘了登录网站的密码，但他记得密码是隐含在下面的诗里的：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增。共计三百八十一，请问底层几盏灯?”请你根据诗的意思，帮小明找回密码。(提示：底层的灯数就是密码)

典型例题3

4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式?

分析设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方式有an种。可以想象在前n—1次传球过程中，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理得，共有3×3××3=3

这些传球方式并不都是符合要求的，它们可以分为两类，一类是第n—1次恰好传到甲手中，这有a???种传法，它们不符合要求，因为这样第n次无法再把球传给甲；另一类是第n-1次传球，球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有an种传法。根据加法原理，有a???+an

第n次传球

传球的方法

球在甲手中的传球方法

球不在甲手中的传球方法

1

3

0

3

2

9

3

6

3

27

6

21

4

81

21

60

5

243

60

185

解由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以a?=0。

利用递推关系可以得到：a?=3?0=3,α?=3×3?3=6,α?=3×3×3?6=21,α?=3×3×3×3—21=60。

这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种。

当然该题也可以利用列表法求解。

我们可以这样想，第n次传球后，球不在甲手中，第n+1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。

从表中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。

思维训练3

1.有一组分数如下排列：13

2.十个自然数排成一列，从第三个数开始，每个数都等于它前面两个数的和，已知第一个数是5，第十个数是241，那么第二个数是多少?

竞赛强化

1.小玲从1月1日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月一共写了589个