第21讲 容斥原理 （讲义）-2023-2024学年五年级数学人教版.docxVIP

第21讲容斥原理

专题概述

本讲的主要内容是让学生掌握容斥原理，并能运用容斥原理解决实际问题，主要的求解方法如下：

(1)被计数事物有A、B两类时，根据A类、B类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数一既是A类又是B类的元素个数求出正确答案；

(2)被计数的事物有A、B、C三类时，根据A类、B类、C类元素个数的总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类又是B类的元素个数一既是B类又是C类的元素个数一既是A类又是C类的元素个数+既是A类又是B类且是C类的元素个数求出正确答案；

(3)从另一角度思考被计数事物存在重复的情况，再根据容斥原理求出正确答案。

典型例题1

学校文艺团每人至少会演奏一种乐器，其中会弹钢琴的有15人，会拉小提琴的有18人，既会弹钢琴又会拉小提琴的有5人。这个文艺团一共有多少人?

分析如下图所示：

总人数=会弹钢琴人数+会拉小提琴人数—既会弹钢琴又会拉小提琴人数

=15+18-5=28(人)

解15+18-5=28(人)

答：这个文艺团一共有28人。

思维训练1

1.五(1)班学生有33人参加英语小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加英语小组，20人参加科技小组，两个小组都参加的有多少人?

2.五年级学生订刊物，75人订了《中国少年文摘》，68人订了《小学生时代》，两种刊物都订的有15人，没有订刊物的有22人，问五年级共有多少学生?

典型例题2

在1~100的自然数中有多少个是5的倍数和7的倍数?

分析此题只需求出1~100的自然数中5的倍数的个数，7的倍数的个数，5和7的积即35的倍数的个数，利用容斥原理可知：自然数1~100中5的倍数和7的倍数的总个数=1~100自然数中5的倍数的个数+1~100中自然数7的倍数的个数-1~100自然数中35的倍数的个数。

解100÷5=20,1~100自然数中5的倍数个数为20个。

100÷7=14……2,1~100自然数中7的倍数个数为14个。

100÷35=2……30,1~100自然数中35的倍数个数为2个。

1~100的自然数中5的倍数和7的倍数有20+14-2=32(个)。

思维训练2

到1000的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?

2.分母是77的最简真分数有几个?

典型例题3

春天的某个周末，10个同学相约去太子湾野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了饭团，6个人带了鸡腿，4个人带了巧克力蛋糕，3个人既带了鸡腿又带了巧克力蛋糕，2个人既带了饭团又带了鸡腿，1个人既带了饭团又带了巧克力蛋糕。问：

(1)三种都带了的有几人?

(2)只带了一种的有几人?

分析如图，用A圆表示带饭团的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带巧克力蛋糕的人。

根据容斥原理第二类，总人数=(带饭团的人数+带鸡腿的人数+带巧克力蛋糕的人数)—(带饭团、鸡腿的人数+带饭团、巧克力蛋糕的人数+带鸡腿、巧克力蛋糕的人数)+三种都带了的人数，即10=(6+6+4)-(3+2+1)+三种都带了的人数，得三种都带了的人数为10-(6+6+4)+(3+2+1)=0(人)

解(1)10一(6+6+4)一(3+2+1)=0(人)

(2)10-(3+2+1)=4(人)

答：三种都带了的有0人，只带一种的有4人。

思维训练3

某校五(2)班有学生45人，每年在暑假里都参加体育集训营，其中参加排球队的有23人，参加游泳队的有25人，参加篮球队的有20人，排球、游泳都参加的有12人，篮球和排球都参加的有9人，篮球和游泳都参加的有10人，问三项都参加的有多少人?

2.某班的全体学生在进行了跳远、短跑、投掷三个项目的测试后，有3名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表所示。

项目

跳远

短跑

投掷

跳远、短跑

短跑、投掷

跳远、投掷

跳远、投掷、短跑

人数/人

16

18

13

6

7

6

2

这个班级的学生共有多少人?

典型例题4

小明和他的同学在某个十字路口统计1小时内经过该十字路口的车辆数目。经统计，发现1小时内有24辆车不是公交车，有20辆车不是货车，已知公交车和货车一共18辆，问1小时内经过该路口的除公交车和货车以外的车辆有多少?

分析从“有24辆车不是公交车”可知，24辆车是货车和其他车辆，从“20辆车不是货车”可知，20辆车是公交车和其他车辆。那么24+20=44(辆)就是货车加公交车加其他车辆，再减去18就得出其他车辆的数目，这样除公交车和货车以外的其他车辆为(44-18)÷2=13(辆)。

解(24+20-18)÷2=13(辆)

答：1小时内经过该路口的除公交车和货车以外的车辆有13辆。

思维训练4

1.阳光小学举办学生绘画展览。学校的