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四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足，则z的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一颗银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（????）米．
A． B． C． D．13
3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（???）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若为异面直线，，则
4．若个样本，，，，的平均数是，方差为，则对于样本，，，，的平均数与方差分别是（????）
A．、 B．、 C．、 D．、
5．已知，则的值是（????）
A． B． C． D．
6．斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则的值是（????）
A． B． C． D．
7．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，设该容器的体积为，该容器最多能盛的水的体积为，则=（????）
??
A． B． C． D．
8．在直角梯形中，分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知复数是方程的两根，则（????）
A．是方程的一个根
B．
C．
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
10．在一次党建活动中，甲?乙?丙?丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲?乙?丙?丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（????）
A．甲组中位数为2，极差为5
B．乙组平均数为2，众数为2
C．丙组平均数为1，方差大于0
D．丁组平均数为2，方差为3
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（????）
??
A．的图象关于点对称
B．在上单调递增
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
12．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（????）
A．与始终保持垂直
B．的最小值为
C．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为
D．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为
三、填空题
13．设是复数且，则的最小值为.
14．如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为.
15．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是.
??
16．在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是.
四、解答题
17．已知.
(1)求和的夹角；
(2)若向量为在上的投影向量，求.
18．某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
??
(1)求图中的值并估计面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；
(3)抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和20，求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差．
19．在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且．
(1)证明：；
(2)若，的面积为，求的周长．
20．如图，在长方体中，，平面.
??
(1)证明：四边形为矩形；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
21．已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间；
(2)方程在上有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.
22．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．
??
(1)当点M与点重合时，
①证明
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