均值不等式教案.doc

§3.2均值不等式

本节内容是选自人教版高中数学B版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位,在不等式的证明中尤其突出。

教学目标

知识与技能:均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意义；能够应用均值不等式进行简单的证明

过程与方法:掌握数形结合的数学思想方法

情感态度价值观：数学来源于生活,善于从生活中去探索数学的奥秘

重难点

重点:均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件

难点:均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式

教学方法

讲授法

教学过程

情境引入

某一届国际数学家大会的会标,我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形:已知的是直角三角形的两直角边分别为a,b,那我们能否从其中找出一些不等关系？

解答:图中四个直角三角形的面积总和为:

大的正方形的面积为:

我们可以很直观地得出:

问:同学们再想一想,这个“”可以换成“≥”吗？

当直角三角形变为等腰直角三角形的时候,也即是
时,这时,正方形EFGH变为一点,可以得到
。

得出结论并证明（基础）

一般地,
,则
.

证明:

当
时,
；当
时,
.

综上所述，可得
.

均值不等式的变式（重点）

若
则
（当
时,“=”取到）

需明确的两个概念:
表示
与
的算术平均数；

表示与的几何平均数。

证明（几何意义）:

如图：
是圆
的直径，点
是
上任一点，
，
，过点
做
交圆周于
，连接
.

则

又
,则

所以
,也即

又
，所以
.

所以其几何意义为:半径不小于半弦

巩固应用

（1）已知
都是正数,求证:
.

证明:

,由均值不等式可得

,

当且仅当
且
同时成立,

即
时，等号成立.

（2）已知
都是正数,求证:

证明：
,
,

课堂小结

本节课,我们学习了重要不等式
；两正数
的算术平均数（
）,几何平均数（
）及它们的关系（
≥
）.它们成立的条件不同,前者只要求
都是实数,而后者要求
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).

我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
,ab≤（
）2.

板书设计

引入

四个直角三角形的面积总和为:

大的正方形的面积为:

于是可得到

当a=b时,也就是直角三角形变为等腰直角三角形,中间的正方形EFGH变为一个点时,

二、均值定理1：一般地,
,则

证明:

当
当
时,

综上所述,可得

均值定理2：若
则
（当
时,“=”取到）

证明（几何意义）:

如图：AC是圆O的直径,点D是AC上任一点,AD=a,CD=b,过点D做BD
AC交圆周于B,连结OB.

则OB=

又
,则

所以
,也即

又
,所以

所以其几何意义为:半径不小于半弦

应用

已知
都是正数,求证:

（1）

证明:
,由均值不等式可得

,当且仅当
同时成立,

即
时,等号成立.

（2）

,
,

,对每个
.

证明:用数学归纳法.