几个例子分析和总结.docx

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例设f(x)在?0,??上连续，且??

0

f(x)dx?0,??

0

f(x)cosxdx?0，证明：在?0,??内至

少存在两个不同点?,?，使f(?)?f????0.

证明：因为f(x)在?0,??上连续，又积分中值定理知，存在???0,??

使得??

0

f(x)dx?f(?)??0，所以f(?)?0

假设f(x)在?0,??只有一个零点x??，又??

0

f(x)cosxdx?0,??

0

f(x)cos?dx?0,

所以??

0

所以??

f(x)?cosx?cos??dx?0

f(x)?cosx?cos??dx???

f(x)?cosx?cos??dx?0

0 ?

由于f(x)在?0,??只有一个零点x??，且??

0

f(x)dx?0，所以x??0,??,x??时，f(x)

不能恒为正或恒为负，所以 f(x)在?0,??与??,??内异号，又cosx?cos?在?0,??与

??,??内异号，所以??f(x)?cosx?cos??dx,??f(x)?cosx?cos??dx同号，

与??

0

0

f(x)?cosx?cos??dx???

?

?

f(x)?cosx?cos??dx?0矛盾，

所以还存在异于?的点?使得f????0.

方法二：令F(x)?

?xf(x)dx，则F(0)?F(?)?0

0

又??

0

f(x)cosxdx?

??F/(x)cosxdx?0

0

所以??F/(x)cosxdx???cosxdF(x)?F(x)cosx????F(x)dcosx???F(x)sinxdx

0 0 0 0 0

由积分中值定理知，存在? ??0,??使得

0

??f(x)cosxdx?

0

??F(x)sinxdx?F(?

0 0

)??sinxdx?0

0

而??sinxdx?2?0，所以F(?

0

0)?0

0在?0,? ?和??,??上对F(x)使用罗尔定理，即有在?0,??内至少存在两个不同点?,?，使

0

0

f(?)?f????0.

例设f(x)在?0,??上连续，且??

0

f(x)sinxdx?0,??

0

f(x)cosxdx?0，证明：在?0,??

内至少存在两个不同点?,?，使f(?)?f????0.

证明：因为f(x)在?0,??上连续，又积分中值定理知，存在???0,??

f(?)?0000使得??f(x)sinxdx?f(?)??sinxdx?0，由于??

f(?)?0

0

0

0

假设f(x)在?0,??只有一个零点x??，又??

0

f(x)sinxdx?0,??

0

f(x)cosxdx?0

所以cos???

0

f(x)sinxdx???f(x)sinxcos?dx?0，

0

sin???

0

f(x)cosxdx???f(x)cosxsin?dx?0

0

所以??

0

f(x)?sinxcos??sin?cosx?dx?

??f(x)sin?x???dx?0

0

所以??f(x)sin?x???dx???f(x)sin?x???dx?0

0 ?

由于 f(x) 在?0,??只有一个零点x?? ，又x??