计数原理排列组合及二项式定理二项式定理学案.docx

二项式定理

一、知识梳理

二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

二项展开式的性质是解题的关键.

利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.

99二、基础训练

9

9

01.已知（1－3x）9=a

0

ax a

++1 2

+

+

x2+…+a

x9，则｜a

0

｜｜a

+1

+

｜｜a

+2

+

｜+…+｜a｜

等于

A.29 B.49 C.39 D.1

2.（2x+A.6

）4的展开式中x3的系数是

xB.12 C.24 D.48

x

x3.（2x3－1

x

A.14

）7的展开式中常数项是

B.－14 C.42 D.－42

已知（x3+x?1）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是

2 3

.（以数字作答）

5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n= .

三、例题分析

x例1.如果在（

x

+ 1 ）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式

24

24x

例2.求式子（｜x｜+

1|x|－2

1

|x|

思考讨论

（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；

（2）求（x+4－4）4的展开式中的常数项；

x

（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.

1?x解：（1）原式=1?x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x

1?x

1）4C－

1=14.

x4（2）（x+4－4）4=(x

x4

x

?4x?4)4

=(2?x)8

，展开式中的常数项为C424·（－1）

8

x44

x4

x(1?x)3[(1?x)48?1](1?x)

x

(1?x)3[(1?x)48?1]

(1?x)?1

展开式中x3的系数为C4.

51

方法二：原展开式中x3的系数为

C+C+C+…+C3

50

=C+C+…+C3

50

=C+C+…+C3

50

=…=C4.

51

评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.

1 2例3.设a=1+q+q2+…+qn?1（n∈N*，q≠±1），A=Ca+Ca+…+Ca

1 2

n n n

用q和n表示A；

n

n2n（2）（理）当－3q1时，求lim A

n

2n

n??

例4求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.

四、同步练习 g3.1093 二项式定理

一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A.20 B.219 C.220 D.220－1

已知（x－a

x

）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系

数的和是

A.28

或28

B.38 C.1或38 D.1

在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )(A)－5 (B)5 (C)－10 (D)10

? 1 ?n 1

如果?3x?

?

?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）

3x2

3x2

x3

（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21

?5.若?2x?

?

?

1?n展开式中含1

xx2

x

x2

?

项的系数与含1

项的系数之比为?5，则n等于( )

x4(A)4； (B)5； (C)6； (D)

x4

6.在(1?2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于()

(A)5； (B)7； (C)9； (D)11。

1

7.(2x?

)9的展开式中，常数项为 。（用数字作答）

x

x8.（x－1

x

）8展开式中x5的系数为 .

1x x若（x3+ ）n的展开式中的常数项为84，则n=

1

x x

已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项

为20000，求x的值.

11.若（1+x）6（1－2x）5=a

+ax+a

x2+…+a

x11.

求：（1）a+a+a

0 1 2 11

+…+a ；

1 2 3 11

（2）a

+a+a+…+a .

0 2 4 10

在二项式（axm+bxn）