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二次根式的经典大题精选汇编(培优)
2I2^
1.先化简,再求值:已知x=——L=,求+■:?:+4-4,的值.3+2V2 x-1 x-2
2.(1)已知 y=a/3~ 试求代数式2f-5孙+2)2的值.
3.先化简,再求值:(「XT°———)+二^,其中%=2-1,y=2-V2.
x2-2xy+yx-2xyx-2y
4.
(1)若x+y=-5,xy=3,求[工可三的值;
(2)若a=20丝——,求/-2q+4的值.
V2023-1
5.
已知a=—
2+V3
求16-67+@27a2-8a+16的值.
a-4 a2-4a
6.同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应,在一条不完整的数轴上从左到右有点A,
B,C,其中AB=2泥,BCi/万,如图所示,设点A,B,。所对应数的和是P.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算P的值;
(2)若原点为。且CO=5我,求P的值.
7.阅读并解答问题:
1 V2-1
1 V2-1
a+1=(加+1)(加-1)
]二近二V3W2=(V3W2
]二近二
V3W2=(V3W2)(V3W2)
=V3-V2^
1二2点
2+V3=(2-^/3)(2-V3)
=2-底,
上面的计算过程叫做“分母有理化”,仿照上述计算过程,解答下列问题:
(1)将-7」的分母有理化;
V5+2
(2)已知a=1V7W6
(2)
已知a=
1
V7W6
W-V6
求a+b的值;
(3)十] + ]
(3)
V99W9847100W99
.观察、思考、解答:
(加-1)2=(V2)2-2X1Xa/2+12=2-2V2+1=3-2V2
反之3-2迎=2-2+1=(V2-1)2
???3-2=(V2-1)2
A73-272=V2-1
(1)仿上例,化简:.6-2^;
(2)若川a+25/^=Viii+则用、力与。、b的关系是什么?并说明理由;
2
(3)已知x=44-阮,求(+)?二一4、的值(结果保留根号)
x-2x+2 2(x-1)
.先阅读下列材料,再解决问题:
阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方公式及二次根式的
性质化去一层根号.
例如:V3+2V2=V3+2XIXV2=712+2X1XV2+(V2)2=V(1W2)2=l1+
痴=\+近.
解决问题:
化简下列各式:
(1)V7+4V3;
(2)79-475.
9.观察下列等式:
①-=L如-1「—=V2-?
V2+1(V2+1)(V2-1)
②-1 6-近
V3W2-(V3W2)(V3-V2)372
③厂=厂g啤厂
V4W3(V4W3)(V4-V3)
回答下列问题:
(1)利用你的观察到的规律,化简:l1一
V23+V22
(2)计算:]
(2)计算:
]
+.■?卜一
V99-k/100
10.阅读下面的材料,解答后面所给出的问题:两个含二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如:五与八,血+1与V2-1.
(1)请你写出两个二次根式,使它们互为有理化因式:,这样化简一个分母含
有二次根式的式子时,采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了.例如:
=V6+2-加二血(正/)避+2
=V6+2-
V3W2=(V3W2)(V3W2)=3-2
(2)请仿照上述方法化简:
3
V5-V2
(3)比较〒1—与厂1厂的大小.
,「一样的式子,这样的
,「一样的式子,这样的V3+1
2X3=娓3X3
2X3=娓
3X3丁
23式子我们可以将其进一步化简3=冲、氏=空
2
3
V3V3XV33
2(V3-1)
V3+1(V3+1)(V3-1)
母有理化解答下列问题:
=遮-1以上这种化简的方法叫做分母有理化,请利用分
(1)
(2)
(3)
化简:—一
V5+V3
若。是血的小数部分,求3的值;
a
矩形的面积为3强+1,一边长为。石-2,求它的周长.
H.在进行二次根式简化时,我们有时会碰上如三,J2,「一样的式子,其实我
V3V3V3H
们还可将其进一步简化:
3二3乂疾=7T=V5X^5
2X3=娓.(3X3
二)
2(V3-1) _2(V3-1)
V3+1(V3+1)(V3-1)(V3)2-12
=V3-1;(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
」一还可以用以下方法化简:
V3+1
3-1_(V3)2-l2_(V3+1)(V3-1)
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