湖南省湘大子校20132014学年度七年级数学上学期培优 第11讲 二次根式.docx

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一、二次根式：形如

第11讲二次根式

a（a≥0）的式子叫做二次根式。

a

二、双重非负性

a

a≥0（a≥0）是一个非负数．

-20.3、下列各式 ，

-2

0.3

， ， x(x?0)， ，

，? ，

，其中是二次根式的是

4ax2?31x43

4

a

x2?3

1

x4

35

3x

3x?1

有意义，则x的取值范围是 ．②若式子

+ 有意义，则x的取

2x?31

2x?3

1

x?1

x?55?x（3）

x?5

5?x

?(

?(x?5)2

有意义的未知数x有 个．

（5）若 x?1?(y?2)2?z?3?0，则（x+y）z= .

三、二次根式的性质

（

（ a）2=a（a≥0） a2=a（a≥0）

56

5

6

( 6)2= ;（

）2= ;（

3x）2=

3x

（x?1）2= （x≥0）;（a2）2

= ;( a2?2a?1)2= ;（4x2?12x?9）2=

(?3)2计算下列各式

(?3)2

9(?4)2a

9

(?4)2

a2

= ;

= ;

a2（x2

a2

（x2+1）2

= ；当a0时，

= .

x2（x+

x2

（x+1）2

= ;④

= ;

(21)2312a2b2

(21)2

3

12a2b2

(?21)2

3

四、二次根式的乘法与除法

a

a· b＝

ab．（a≥0，b≥0）

ab= a·

b（a≥0，b≥0）

a=bab（a≥0，b0），a

a

=

b

a

b

（a≥0，b0），

a

b

=

a

b

（a≥0，b0）

扩充：

a

b

a?b???k

k

2731计算（1）

27

3

? = ;2

?3 7= ;

? =

61y55a45153 222 3（2）9

6

1

y

5

5a

45

1

5

3 22

2 3

五、最简二次根式

同时满足：①分母中不含根号,根号中不含分母及小数；②被开方数中不含含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．

8171227ab3a2?

8

17

1

2

27ab3

a2?b2

0.1

0.1化简下列各式：

0.1

4812① ；12a2b3(a?0)②

48

1

2

；1 ；

3六、分母有理化和互为有理化因式

3

利用分式的性质，分子分母同乘以一个非0式子等方式使分母化成有理数的过程叫做分母有理化，相

aabababab乘为有理式的两个二次根式互为有理化因式。熟记一些常见的有理化 因式： 的有理化因式是 ；

a

a

b

a

b

a

b

a

b

ba?n

b

的有理化因式是a?n ； ?

的有理化因式是

；m

n 的有理化因式是

abm ?n ；

a

b

（1）2

（1）

2

3

（2）

24

5

（3）

（4）

（5）

（6）

20m若 是一个正整数，则正整数m的最小值是

20m

若a

?2 ?

?10，则a?

a218a

a

2

18a

2

a

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.

下列各式中，哪些是同类二次根式？

2,75,31

2,

75,

3

1

27

1

50

a2b12a?12b.2 8ab

a

2b

12a?12b.

3

4?2a3若最简二次根式 1

4?2a

3

是同类二次根式，则a值为

8121827（3）在 ， ， ，

8

12

18

27

中,和

是同类二次根式的有

6x（4）下列根式中，与 不是同类二次根式的是（ ）

6x

x66x1

x

6

6

x

1

6x

6?x

八、二次根式的加减

7232二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．(二次根式的加减类似于合并同类项的运算)

72

32

300（1）

300

— — +

1

277518+ （2） 32－5 ＋6

27

75

1

8

2

九、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算与有理数的混合运算法则一样

6× 3212212＋ 24

6× 3

2

1

22

例1计算（1） 50× 8－

（2） －

273

27

48（3）（2— 3—10 2）× 6 （4）4?(

48

3

? 6)?4

a3

1

8

3

2005

? 2004)0

a2

（6）

1a22

1

a

2

2