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初三几何对角互补模型(解析版)

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对角互补模型

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有三种：双垂线，旋转法，四点共圆

类型一：含90°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：

①CD=CE；

②OD+OE=

③S△OCD+S△

作法1作法2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：

①CD=CE；

②OE

③S

作法1作法2

类型二：含120°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：

①CD=CE；

②OD+OE=OC；（截长补短）

作法1作法2

（2）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：

①CD=CE

②OD-OE=OC；QUOTE③

初三几何对角互补模型(解析版)全文共1页，当前为第1页。 作法1作法2

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典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，

重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，

当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，

如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，

∴△OEG≌△OFH，

∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．

变式练习

1.角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，

OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

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例题2.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条

对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

【解答】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，

则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，

所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，

又因为AC＝AC′，

所以△ACC′是等腰直角三角形，

在△ABC和△ADC′中

∴△ABC≌△ADC′（SAS），

∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，

所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．

变式练习

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.

答案：4

例题3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3．

【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，

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∴∠QPR＝90°＝∠MPN，

∴∠QPE＝∠RPF，

∴△QPE∽△RPF，

∴＝＝2，

∴PQ＝2PR＝2BQ，

∵P