初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习专题强化1 三角函数中的最值问题（教师版）.pdf

1

强化专题三角函数中的最值问题

【方法技巧】

求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型

(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最

值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

22

(2)形如y＝asinx＋bsinx＋c(或y＝acosx＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或

cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或

cosx)的有界性．

(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最

值)．

sinxacosxa

fxfx



(4)对于形如sinxb或cosxb的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值

域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.

【题型目录】

一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题

二、可化为y＝f(sinx)型的二次式的值域问题

三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值问题

sinxa

fx



四、形如sinxb的最值问题

五、函数图象平移问题的最值

六、ω的最值问题

【例题详解】

一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题

ππ3

fx

1．已知fx2sinxcosx，则的最大值为（）



262

13

AB2C1D

．．．．

22

【答案】C

【分析】利用诱导公式、两角和与差的正余弦展开式、二倍角公式进行化简计算可得答案.

ππ3

【详解】fx2sinxcosx



262

ππ3

2cosxcoscosxsinsinx



662

23

3cosxsinxcosx

2

31

cos2xsin2x

22

π

sin2x，

3

π

因为xR，所以1sin2x