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分数指数幂公开课教案

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《分数指数幂》教学设计

陈炜明(2013/3/5公开课)

一、教学目标：

知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。

过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。

情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。

二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质

三、教学难点：分数指数幂的概念

四、教学过程：

【问题情境】

里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。

假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则

（1）第3级地震所释放的能量为多少？

答：

（2）第x级地震所释放的能量为多少？

答：

（3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？

分数指数幂公开课教案全文共1页，当前为第1页。教师举例

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发震时刻：

2013年02月19日17:31:16

纬度：

39.6°

经度：

77.2°

深度：

8千米

震级：

3.1

参考位置：

新疆维吾尔自治区喀什地区伽师县

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？

（此时教师在黑板上画出函数的图像辅助说明该问题的提出）

【温故知新】

问题一：表示什么含义（当为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？

答：个相乘。

（此处板书）

在这里均为正整数。

问题二：若在计算时，遇到时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？

若呢？

答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到。同理，可以对负分数指数幂进行规定。

分数指数幂公开课教案全文共2页，当前为第2页。小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。

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问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

答：引入负指数幂可以使我们对许多数学问题书写方便，计算简单。（可口头举几个简单的例子）

【意义建构】

问题四：类似上面的推广，当把整数指数幂推广到分数指数幂的时候，你想保留什么性质不变？用具体的例子试一试。

一般地，（形式上的认为）

同理

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一般地，（形式上的认为）

【数学理论】

假设指数运算律“”对分数指数幂运算也适用。

令，，那么，由次方根的定义，就可以把看成的次方根，即

一般地，我们规定

（均为正整数）

仿照负整数指数幂的意义，我们规定

（均为正整数）

问题五：分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么后果？

（可先举具体的例子让学生感知）

答：根式与分数指数幂既有联系，又有区别。分数指数幂的实质是根式。只要根式有意义，不论为何值，都可以写成分数指数幂的形式。但是要注意的此时指数是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，不能参与约分，通分等运算。

当时，对指数进行约分，通分等运算的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果一致。此时与传统意义上的分数作用效果是相同的。这时把指数看作普通分数是合理的。

分数指数幂公开课教案全文共4页，当前为第4页。注：绝大部分根式计算，尤其是只有乘除，乘方，开放的根式运算，化为分数指数幂按幂的运算法则去计算要简便的多。

分数指数幂公开课教案全文共4页，当前为第4页。

分数指数幂公开课教案全文共5页，当前为第5页。有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数，对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变。

分数指数幂公开课教案全文共5页，当前为第5页。

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【数学运用】

例1求下列各式的值

（1）（2）（3）（4）

例2用分数指数幂的形式表示下列各式（）

（1）（2）

【反思与提升】

1．分数指数幂是根式的另一种写法。

2．熟练掌握有理数指数幂的运算法则，它是化简的基础。