含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件.docx

含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件二.本周教学重、难点：

掌握简单的绝对值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；学会运用函数方程、分类讨论、等价转化和数形结合思想解决有关不等式的问题。

理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件，必要条件，充要条件的意义。

【典型例题】

（1）；

（1）

；

（2）。

（2）

。

即方法一：原不等式等价于

即

∴或∴方法二：

∴

或

∴

∴或故原不等式的解集为方法一：

∴

或

故原不等式的解集为

①或②由①得∴由②得∴∴原不等式的解集为方法二：

①或

②

由①得

∴

由②得

∴

∴原不等式的解集为

方法二：∵

∴原不等式可视为关于

的一元二次不等式

0

（3）

（4）

解得或（舍去）∴或故原不等式的解集为

解得

或

（舍去）∴

或

故原不等式的解集为

（1）

（2）

（5）（6）解：

（5）

（6）

（1）∵∴原不等式化为∴或（2）∴∴（3）∴∴且∴

（1）∵

∴原不等式化为

∴

或

（2）

∴

∴

（3）

∴

∴

且

∴

（4）原不等式化为：

且

∴ 且

且 或

∴ 或 且

（5）

方法一：令 ∴

① 时，

② 时，

∴

③ 时， ∴

∴由①②③知：

（6）∵ ∴

利用 等号成立的条件得

∴

∴

[例3]解不等式解：（1）时，①时，的两根

[例3]解不等式

解：

（1）

时，

①

时，

的两根

∴

②

时，

∴ 且

③

时，

∴

（2）

时，

∵

∴

∴

（3）

时，

或

[例4]已知二次函数的二次项系数为 ，且不等式的解集为（1）若方程

[例4]已知二次函数

的二次项系数为 ，且不等式

的解集为

（1）若方程

有两个相等的根，求

的解析式；

（2）若

的最大值为正数，求 的取值范围。

解：

（1）∵

的解集为（1，3）

设

因而

，且

①

由方程

，得

②

由于，舍去将代入①得的解析式（2）由又，可得的最大值为

由于

，舍去

将

代入①得

的解析式

（2）由

又

，可得

的最大值为

由

解得

或

[例5]已知关于 的不等式

的解集为M。

∴即解得或

∴

即

解得

或

（1）当时，求集合M；

（1）当

时，求集合M；

（2）若

且

，求实数 的取值范围。

（1）当时，不等式化为所以或故不等式的解集（2）因M，得

（1）当

时，不等式化为

所以

或

故不等式的解集

（2）因

M，得

①

因

，得

或

②

∴方程

有实根

故原命题“若

，则

有实根”为真

由①②解得或[例6]判断命题“若，则

由①②解得

或

[例6]判断命题“若

，则

有实根”的逆否命题的真假。

原命题：若

，则

有实根

逆否命题：若无实根，则∵

逆否命题：若

无实根，则

∵

无实根∴

∴∴“若无实根，则”为真命题∵∴∴

∴

∴“若

无实根，则

”为真命题

∵

∴

∴

∴方程

的判别式

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若，则

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若

，则

有实根”

命题：， ：有实根

命题

：

， ：

有实根

∴

：

：

方程

有实根}=

∵

∴

∴方程

的判别式

∴方程

有实根，即

∴“若 则 ”为真

∴若，则有实根的逆否命题为真方法四：

∴若

，则

有实根的逆否命题为真

方法四：设

：

， ：

有实根，则

则 ”的逆否命题“若

则 ”为真

无实根∴∵∴“若则”为真，即“若方程无实根，则

无实根

∴

∵

∴“若

则

”为真，即“若方程

无实根，则

”为真[例7]已知，设P：函数在

”为真

[例7]已知

，设P：函数

在R上单调递减；Q：函数

的值域为R，如果“P且Q”为假命题，“P或Q”为真

A.

B.

C.D.解析：由题意知P，函数在R

C.

D.

解析：由题意知P，函数

在R上单调递减，则

。Q：函数

的值域为R，则二次函数必满足且，解之，得。由“P且Q”为假命题，“P

的值域为R，则二次函数

必满足

且

，解之，得

。由“P且Q”为假命题，“P或Q”为

[例8]若是R上的减函数，且，设只能满足Q不成立

[例8]若

是R上的减函数，且

，设

，，若“”是“”的充分A.

，

，若“

”是“

”的充分

A.

B.

C.

D.

解析：由题意知

∵“”是“”的充分而不必要条件∴∴，故选

∵“

”是“

”的充分而不必要条件

∴

∴

，故选C。

1.若

，则不等式

的解集是（）

A.

B.

C.

D.

2.已知

的解集为R，则 的取值范围是（）

B.C.D.以上答案都不对

B.

C.

5.如果函数在区间（）上为增函数，则 的取

5.如果函数

在区间（

）上为增函数，则 的取

A.

B.

C.

D.

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