2024年第九届“爱尖子”数学能力测评（一试+加试）真题（学生版+解析版） .pdf

2024年第九届爱尖子数学能力测评

一试

（总分：120分，考试时长：80分钟）

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设集合人+拦*/-6},8={M-3G5-1},若AuB,则实数Q的取值范围是

2.设上是实数，若对任意模为1虚数z,均有1+财不是实数，则人的取值范围是.

3.数列1,2,4,5,7,8,10,11,14,16,17,19,...是将所有在十进制下不含数字3,且不是3的倍数

的正整数，从小到大依次排列得到的，则该数列的第100项为.

cos（A-B）=-

4.设-仙°内角匕俄ZB、ZC的对边分别为b、c,若4,且a+b=5,c=4,则

ab的值为.

5.在正四面体ABC。中，P底面三角形ABC内一点，若PB=1,PC=4PD=2,则PA=

6.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+a与抛物线=子交于两个不同点人，b（不同于点0）,I」

△AOB外接圆半径的取值范围为.

口+_____

7.设数列*“}满足％,〃*〃%%+1则・（其中［可表示不超

过实数］的最大整数）

8.如图，在平面内，30条长度为1的线段拼成三角形网格，现将网格中每条单位线段染成红、黄、蓝三色

之一，满足每个单位正三角形的三边颜色互不相同.如果两个网格可以经过一系列的旋转、翻转，使得对应

线段所染颜色均相同，则认为它们是同一种染色方式，这样的染色方法数为.

二、解答题（第9小题16分，第10、11小题20分，共56分）

9.若正实数c满足。+》+c=12.3,[a]b+[b]c+[c]a最大值.（其中[幻表示不超过实数入的

最大整数）

10.在平面直角坐标系x°y^,F是抛物线尸=4工的焦点，A是抛物线上一点（不同于点0）,IAOF

的内心，求【OF面积的取值范围.

11.设。，人是两个不同的实数，若函数/W=sin%-cos%的定义域为”,仞，值域也为，用，求Q+人的

值.

加试

（总分：180分，考试时长：170分钟）

12.如图，在-仙。中，3AC的平分线与边8。交于点。，与-A8C外接圆上弧交于点M.E、F分

别为边AB,AC的中点，点P、。分别在射线ME、MF±,满足PB=PD,QC=QD求证：点。关于直

线02的对称点在A5C的外接圆上.

13.求所有正整数〃，满足（〃）“（〃）顼.（其中表示〃的正约数个数，（）表示〃的所有正约数

之和）

14.一个方格向三个方向分别延伸若干格（延伸的格数不一定相同，但至少延伸一格）形成的图形称为“方

块”，例如下图就是一个“方块”.求所有正整数m使得可以将的方格表分割成若干个无公共格的“

方块”，并对这些m求所用的叮方块”个数的最小值.

15.设。1，％，・・・，。20为非负实数，满足酒+。；+•••+々；（）=2024,求。1+2%+...+20。20最小值和最大

值.

2024年第九届爱尖子数学能力测评

一试

（总分：120分，考试时长：80分钟）

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设集合人={幻拦*后-6},3={M-1若AuB,则实数q的取值范围是

【答案】a—

【解析】

【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数。的取值范围.

【详解】当A=0时，满足A£B,此时a2-1^解得—J7aJ7;

当0时