胡不归问题模型胡不归例题模型.docx

胡不归问题模型及其应用

胡不归问题模型及其应用

二t 模型解决

AD DB

茶一步（设出时间l准将数学问颈字母化；）设总时间为It，贝F」－－—，这里片＞忆

片 V2

要求的就痉忙的录小信，这痉一个系数不为1的品信间题，而且有两个系数均不为I;

第二步（提取“大系数”，化为只有一个系数不为．1的品值问题）：一般恬况下，遇到丙个系效不为1的最值问题，首先要将其转化为单个系数不为1的最值问题，这个转化还是比较好实现的，只需挠取一个系数出来即可；

问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下员提取数值比较大的那个系数：立本

例来说，由，＞V界知t

l 1 1

的表达式中两个系数＿＜—,因而岱该担取一出来，即t=

片 V2 V:

vl V、

v

—(＿．心1+DB)，注京挖里片与：均为常数，遠祥要求t的

V2 片

小但，只要求

-vi.AD

乃

DB 的最小值即可，从而间题栈转化为里个系数不为 1的品信问题；

v

＂第三步（构运三；角函数，，化为系数均为l的常规是信问题）；如何求祥..2..AD+DB

＂

的最小值问题呢？还足要想办法处理不为1的系数，将系数都化为■但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？韵学是门神奇的科学，只有你想不到，没有她敝不到的！

联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无形中化为1,这也是样决所谓“胡不归“问题的核心与难点所在，具体操作如下：

v

白三．＜l联想到三角函数值，如图1-2所示，过定点A在

k

线AC的下方构造锐

v

逵＝Q｝使其涓足妞丑一斗

:J!i

忆 DG V

再过动点D作DGJ_AE于点G，则卑思=--=—— ，从而有DG＝三．AD ;

E ADE

D f ，，

D f

，，

、

J

i

I

B-

含

其中．

A—-.i

A

飞

I嘈.,

I嘈.,

smo=

t..1

图l-2

、

｀E｀

贾求互．心＋DB的最小值问题，就袚顺利转化为D1G + DB 的 最 小 值间题，变威7

飞

—个系数均为1的常规最值问题;

需要特别提醒大家的是心这 里的关 键角 a是依 托于 哪些考 虑 作 出来的 呢？

注意 到 是原始 的 “胡不 归＂ 间 脰是 一 个 “两定一 动型 ”晟 值间 匿 ，只不过系数不为1了而已；如图1-.21点峙 D点B昂两个定点『点凶垦—个动点 ，巨痉点 A与动点D在同—条窍百线AC上；上面的角氐 其实就足依托于这里的定点A及定直线AC怓出的，即过定点 A作一条射线与定直线AC所交锐角为角a即可！说到底就是＂抓不变蚕＂的解题策略』依托千定点A及定直线AC作角C(『使其满足s,ina =V2/Vl,即可顺利将所谓，i胡不归“难题“转化为系数均为1的常规殿信问题！

第四步（利用“垂线段最短原哩＂，解决系陪均为1的常规最值问题）：注意到构造的江也是一条定射线j要求DG+DB的最小值问题，且实就是在两定直线AC、A.E上分别找点D、G，且DG上心让使D1G+DB最小，

先利用“两点之间线段最短“易知DG+DB之BG，当且仅当B,, D G三点共线时

取等号j

如图1-3所示》再利用“垂线段最短“只将过点B作BGj_凡；于点0，

-见lBG与AC的交点郎为所要寻找的点Dj

-

B

此时BG最小；

II

A

I

-`、中血

-`、

中血杠＝｀一

`..

星产

.....

、

11

，、

I

I-lD C

l G 、、

、、

图1-3 E

1 忆 l l l

因而尸一( ··AD1+DB)＝一(DG+DB)- BG=- ABsinLB.AG,且中V:`

V:“ K ；I 忆

AB 及乙BAG

均为常信且故所求时间的最小值为－l

v气

AB函nLBAG,

至此，“胡不归＇模，型得到完樊鲜决！

l

如果奄奄一息的父亲能够坚持到—-·AB·sinLBAG这个时伺，那么就能够见他的儿

互

子最后一面了！

三原题鲜决

回到我们最初的夸题上，没蚂蚁从点A到点E所需的时间为，t, 如图1一生，则

AD DE 4DE 4DE

t=