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*判别式与韦达定理求方程的根(1)(2)(3)ax2+bx+c=0(a≠0),(1)当b2-4ac>0时,原方程有两个不等实根x1,2=(2)当b2-4ac=0时,原方程有两个等实根x1=x2=-(3)当b2-4ac<0时,原方程没有实数根.b2-4ac叫做ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式通常用符号“Δ”来表示.对于ax2+bx+c=0(a≠0),有(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-(3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1判定方程根的情况(其中a为常数)如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x2-ax-1=0(2)x2-2x+a=0.解(1)Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根(2)Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a),①当Δ>0,即a<1时,方程有两个不等实根,②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根x1=x2=1; ③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.分类讨论是高中数学中重要的思想方法.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根则 x1+x2=,x1·x2=这一关系也被称为韦达定理.例2已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解法一:∵2是方程的一个根,∴5×22+k×2-6=0,k=-7.方程为5x2-7x-6=0,解得x1=2,x2=-所以,方程的另一个根为-解法二:设方程另一个根为x1,则2x1=-∴x1=-由(-)+2=-,得k=-7.,k的值为-7.例3已知关于x方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.解:设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=-2(m-2),x1·x2=m2+4.∵x12+x22-x1·x2=21,∴(x1+x2)2-3x1·x2=21,即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化简,得m2-16m-17=0,解得m=-1,或m=17.当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,满足Δ>0;当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ<0(舍).综上,m=17.例5若x1和x2分别是方程2x2+5x-3=0的两根. (1)求|x1-x2|的值;(2)求(3)求x13+x23的值;的值;379-的值(4)求*
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