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关于隐函数的求导公式显函数隐函数显化问题：1.满足什么条件，方程能够确定函数？2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？第2页,共23页，星期六，2024年，5月一、一个方程的情形隐函数存在定理1在点的某一邻域内具有设函数连续的偏导数，且能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数则方程在点的某一邻域内恒，它满足条件，并有隐函数的求导公式第3页,共23页，星期六，2024年，5月定理证明略.推导求导公式：两边对x求导在的某邻域内则复合函数第4页,共23页，星期六，2024年，5月例1验证方程在点的某解令则连续,邻域内能唯一确定一个可导,且时的隐函数并求这函数的一阶和二的值.阶导数在第5页,共23页，星期六，2024年，5月注：在点(1,0)的邻域内方程不能唯一确定一个可导函数.依定理知方程的某邻域内能唯一确定一个可导的函数在点第6页,共23页，星期六，2024年，5月一阶导数：第7页,共23页，星期六，2024年，5月例2设方程确定一个隐函数解令由隐函数求导公式,得则求方程两边对x求导，另解解出注意到第8页,共23页，星期六，2024年，5月隐函数存在定理2的某一邻域内有连续的偏导数，设函数在点邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续则方程在点的某偏导数的函数,它满足条件并有且第9页,共23页，星期六，2024年，5月两边对x求偏导同样可得则推导求偏导公式：隐函数的求导公式第10页,共23页，星期六，2024年，5月解令则例3第11页,共23页，星期六，2024年，5月具有连续偏导数，求偏导数.例4解则第12页,共23页，星期六，2024年，5月解例5两边全微分：第13页,共23页，星期六，2024年，5月二、方程组的情形隐函数存在定理3设在点的某一邻域内有对各个变量的偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）连续偏导数,且在点不为零，第14页,共23页，星期六，2024年，5月则方程组在点唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的它们满足条件并有的某一邻域内恒能函数第15页,共23页，星期六，2024年，5月第16页,共23页，星期六，2024年，5月解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x求导并移项,得例6第17页,共23页，星期六，2024年，5月将所给方程的两边对求导，用同样方法得在的条件下，解方程组，得第18页,共23页，星期六，2024年，5月（分以下几种情况）隐函数的求导法则小结第19页,共23页，星期六，2024年，5月第20页,共23页，星期六，2024年，5月思考题已知，其中为可微函数，求第21页,共23页，星期六，2024年，5月思考题解答第22页,共23页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第23页,共23页，星期六，2024年，5月
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