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物理光学作业参考答案-光的衍射局部赵琦

物理光学作业参考答案-光的衍射局部

赵琦

2023-8-1

第

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物理光学作业参考答案

[13-1]波长??500nm的单色光垂直入射到边长3cm的方孔，在光轴〔它通过孔中心并垂直孔平面〕四周离孔z处观看衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

解：夫琅和费衍射条件为：

(x2?y2)

k 1 1 max???

2z

(x2?y2)

即： z?? 1 1 max

?

(15?106)2?(15?106)2

? ?0.9?1012nm?900m

500

[13-3]平行光斜入射到单缝上，证明：〔1〕单缝夫琅和费衍射强度公式为

?sin[?a(sin??sin)]?2

? ? i ?

I?I? ?

0? ?a(si?n?sini) ?

?? ? ??

式中，I 是中心亮纹中心强度；a是缝宽；?是衍射角，i是入射角〔见图〕。

0

?证明：〔1〕建立如以下图坐标系，则入射光的波矢：X X

?

k?k(sini,0,cosi) 1

Q P

缝上任意点Q的位矢： ?

r??(x

1

,y,0) i

1

单逢上光场的复振幅为：

~ ??

E(x)?Aeik?r

1

?Aeiksini?x1

因此，观看面上的夫琅和费衍射场为：

~ 1 ik(z?x2) ~

a

a

?ikxx

x?sin?

E(x)? e

12z ?2E(x)e

z1dx 〔其中： 〕

i?z

1

?a 1

1 1 z

1

1 2

? e 12z

?2eiksini?xe?iksin??xdx

a

a

A

i?z

ik(z?x2)

1 1 1

?a 1

1 2

? e 12z

?2e?ik(sin??sini)xdx

a

a

A

i?z

ik(z?x2)

1 1

?a 1

1 2

sin[?a(sin??sini)]

A ik(z?x2) ?

2z??zae 1

2z

1

?a(sin??sini)

?

所以，观看面上的光强分布为：

?sin[?a(sin??sini)]

?

~ ~ ?

式中：

I?E(x)E(x)*?I{

0

A

}2

a(sin??sini)

?

I ?( a)2

0 ?z

1

〔2〕第一暗点位置：

?a(sin??sini)??

?

?sin??sini??

a

2cos??i?sin??i??

2 2 a

??????i?

?

acosi

[13-4]在不透亮细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？

解：

依据互补屏衍射原理，不透亮细丝的夫琅和费衍射图样与一样宽度单缝的夫琅和费衍射图样除中心点之外是一样的，而衍射图样中暗条纹的间距等于中心亮纹宽度的一半，因此，有：

?x????f??f

a

? 632.8?10?6

a??xf?

1.5

?30?1.2656?10?2mm?0.013mm

即细丝直径是0.013mm.

[13-6]导出外径和内径分别为a和b的圆环〔见图〕的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=a/2

时，〔1〕圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；〔2〕圆环衍射图样第一个暗

环的角半径。〔注：Z ?3.144〕

1

解：半径为a的圆孔在衍射场P点产生的振幅为：

2J(ka?) 2J(ka?)

E ?E

a 0

1 ?ca2 1

?

? ?

其中c为比例系数，由于场中心振幅E0正比于圆孔的面积?a2。圆孔中的圆屏使P点的振幅减小：

2J(kb?)

?E ?cb2 1

?

b kb

因此，圆环在P点产生的振幅为：

a2J

(ka?) b2J(kb?)

E ?E ?E ?2c[ 1

? 1 ]

h a b

ka? kb?

圆环在P点产生的强度为：

??

?J(Z)?2

?J(Z)?2

J(Z)J(Z

)??

I ?E2?4c2?a4?1 1? ?b4?1 2 ? ?2a2b21 1 1 2 ?

1??2??1 2h h ?? ? Z ? Z Z