土木工程概率论与数理统计3.docVIP

2018秋土木工程概率论与数理统计（作业3）

(P1103,6,7,8,9，22，31)(P1231,4,5)

第四章随机变量的数字特征

3.有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E(X)。

解：

∵设事件{X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴

∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴

同理：

故

6.（1）设随机变量X的分布为

X

－2

0

2

Pk

0.4

0.3

0.3

求E(X)、E(X2)、E(3X2+5)

（2）设

解： E(X)=(－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2

由关于随机变量函数的数学期望的定理,知

E(X2)=(－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8

E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.4

（2）因,故

则

7．（1）设随机变量X的概率密度为

求（i）Y=2X ；

（ii）Y=e－2x的数学期望。

（2）设随机变量 X1X2.,…Xn相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布

(i)求U=MAX( X1X2.,…Xn)的数学期望;

(ii)求V=min(X1X2.,…Xn)的数学期望.

解：1)（i）由关于随机变量函数的数学期望定理,知

（ii）

2)因Xi–U(0,1),i=1,2,…n,Xi的分布函数为

因X1X2.,…Xn相互独立,故U=MAX( X1X2.,…Xn)的分布函数为:

U的概率密度为

V=min( X1X2.,…Xn)的分布函数为:

V的概率密度为

8.设（X，Y）的分布律为

X

Y

1

2

3

－1

0

1

0.2

0.1

0.1

0.1

0

0.1

0

0.3

0.1

(1)求E(X)，E(Y)。

(2)设Z=Y/X，求E(Z)。

(3)设Z=(X－Y)2，求E(Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为

X

Y

1

2

3

－1

0.2

0.1

0

0.3

0

0.1

0

0.3

0.4

1

0.1

0.1

0.1

0.3

0.4

0.2

0.4

1

E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4

=0.4+0.4+1.2=2.

E(Y)=(－1)×0.3+0×0.4

+1×0.3=0.

Z=Y/X

－1

－1/2

－1/3

0

1/3

1/2

1

pk

0.2

0.1

0

0.4

0.1

0.1

0.1

（2）E(Z)=(－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1

=(－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.

Z(X－Y)2

0

(1-1)2

1

(1-0)2或(2-1)2

4

(2-0)2或(1-(-1))2或(3-1)2

9

(3-0)2或(2-(-1))2

16

(3-(-1))2

pk

0.1

0.2

0.3

0.4

0

（3）E(Z)=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5

9.（1）设随机变量（X，Y）的概率密度为

求E(X)、E(Y)、E(XY)、E(X2+Y2)

解(1)由题意得由公式

（2）设随机变量X，Y的联合密度为

求E(X)、E(Y)、E(XY)

解(2)由题意得由公式得

而

故

22.（1）随机变量相互独立，且有

设,求E(Y)、D(Y).

解：（1）

因为相互独立，故有

（2）设随机变量X，Y相互独立，且

求得分布，并求概率

解：因随机变量X，Y相互独立，且，则均服从正态分布，且

故有.

又

即

故

31.设随机变量（X，Y）的概率密度为

求E(X)，E(Y)，COV（X，Y）