38第八节 雅可比与高斯—塞德尔迭代法.ppt

基本思想：将方程组Ax=b(|A|0)转化为与其等价的方程组x=Bx+f取初始向量x(0)按下列迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f（k=0,1,2,)(1)生成向量序列{x(k)}，若则有x*=Bx*+f，即x*为原方程组Ax=b的解，B称为迭代格式（1）的迭代矩阵。第八节雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法数学学院信息与计算科学系

问题:如何构造迭代格式，迭代法产生的向量序列{x(k)}的收敛条件，收敛速度，误差估计等。一、雅可比迭代法设方程组数学学院信息与计算科学系

数学学院信息与计算科学系其中aii0(i=1,2,…,n)等价方程组

数学学院信息与计算科学系建立迭代格式

数学学院信息与计算科学系称为雅可比(Jacobi)迭代法,又称简单迭代法。或缩写为

数学学院信息与计算科学系记矩阵A=D-L-U,其中

数学学院信息与计算科学系其Jacobi迭代矩阵为B1=BJ=D-1(L+U),即于是雅可比迭代法可写为矩阵形式

数学学院信息与计算科学系例如已知线性方程组Ax=b的矩阵为其雅可比迭代矩阵为

二、高斯——塞德尔迭代法在Jacobi迭代中,计算xi(k+1)（2in）时,使用xj(k+1)代替xj(k)（1ji-1）,数学学院信息与计算科学系建立迭代格式

称为高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法。于是高斯—塞德尔迭代法可写为矩阵形式其G-S迭代矩阵为B2=BG=(D-L)-1U数学学院信息与计算科学系或缩写为

数学学院信息与计算科学系例如已知线性方程组Ax=b的矩阵为其G-S迭代矩阵为

数学学院信息与计算科学系解:Jacobi迭代格式为例1用雅可比迭代法解方程组精确解是

数学学院信息与计算科学系0.83…1.1999931.1999981.070.720.840.9711.15……1.0999931.2999911.0999981.299997x2(k)x1(k)x3(k)12…1112k计算如下取

数学学院信息与计算科学系解:Gauss-Seidel迭代格式为例2用Gauss—Seidel迭代法解上题。

数学学院信息与计算科学系0.721.1644……x1(k)x3(k)1.0999981.30.902…x2(k)1.199999取x(0)=(0,0,0)T计算如下:1…k8

三、迭代收敛的充分条件定理1在下列任一条件下,雅克比迭代法收敛。数学学院信息与计算科学系

数学学院信息与计算科学系.时,定理2设B1,B2分别为雅克比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,高斯—塞德尔迭代法收敛。(证明见书P77)定义1设n阶矩阵A=(aij)n×n,如果则称矩阵A为行（或列）严格对角占优。从而,当或则

定理3若矩阵A行（或列）严格对角占优,则解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。数学学院信息与计算科学系证①设矩阵A行严格对角占优,由

所以Jacobi迭代收敛.由此根据第五节定理4知道(I-BJ)是非奇异矩阵,因此A=D(I-BJ)也是非奇异矩阵.结论若矩阵A行(或列)严格对角占优,则A是非奇异矩阵.数学学院信息与计算科学系所以有因为

②下面证明Gauss—Seidel迭代法收敛.由,得这说明(D-L)-U是奇异矩阵.下面证明||1.若不然,即有使||1,则数学学院信息与计算科学系

是行严格对角占优矩阵,由结论知它是非奇异矩阵,这与式(1)矛盾,所以||1,从而(BG)1,即Gauss—Seidel迭代法收敛.数学学院信息与计算科学系即矩阵

(D-L)-1LTy=y,LTy=(D-L)y,则[LTy,y]=[(D-L)y,y]证因为A是对称正定的,所以有A=D-L-LT,对BG=(D-L)-1LT,设为BG的特征值,y