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数列中分奇偶数项求和问题

数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：

一、相邻两项符号相异；

例1：求和：

解：当为偶数时：

当为奇数时：

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn

解：①当n为偶数时：

②当n为奇数时：

三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn

解：∵an-an-2=2（n≥3）

∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列

当n为奇数时：

当n为偶数时：

即n∈N+时，

∴①n为奇数时：

②n为偶数时：

四、相间两项之比为常数；

例4：已知an，an+1为方程的两根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求an及S2n。

解：依题意：∴其中。

∴为等比数列；为等比数列

∴①n为偶数时：

②n为奇数时：

则有：

而Cn=an+an+1

∴①n为奇数时，n+1为偶数：

则：

②n为偶数时，n+1为奇数：则：于是：