定义域求法总结.docxVIP

1、基本的

(1)分式中的分母不为零；

(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于零；

(3)指数式的底数大于零且不等于一；

(4)对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；

( 乃、

(5)正切函数丁=1@口工xeR,——,kwZ；

(6)余切函数y=co5(x￡民且xwZ肛Z￡Z)；

(7)反三角函数的定义域

d

函数y=arcsinx的定义域是［―1,1］,值域是22；

函数y=arccosx的定义域是［―1,1］,值域是［0,兀］;

函数y=arctgx的定义域是R,值域是22；

函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,兀)。

2、抽象的

一、已知/(x)的定义域，求/［g(x)］的定义域

例1已知函数/(x)的定义域为［—1,5］,求/(3x-5)的定义域.

分析：该函数是由〃=3%-5和7(m)构成的复合函数，其中％是自变量，”是中

间变量，由于/(%)与.f(〃)是同一个函数，因此这里是已知,即-l3x-55,求x的取值范围.

4in

解：/(x)的定乂域为［―1,5］,—1W3x—5W5,?二一WxW—.

410

故函数/(3x-5)的定义域为右中.

二、已知丹米切的定义域，求/(X)的定义域

例2已知函数/(/—2X+2)的定义域为［03］,求函数/⑴的定义域.

分析：令〃 -2x+2,则/(12一2x+2)=/(〃)，

由于/(〃)与)。)是同一函数，因此M的取值范围即为了。)的定义域.

解：由0WxW3,得1WY—2x+2W5.

令〃=/一2x+2,则/(/—2x+2)=/(〃),1W〃W5.

故/(x)的定义域为[1,5].

三、运算型的抽象函数

—3—XW5,—3W2x+5W5,例3若/(幻的定义域为

—3—XW5,

—3W2x+5W5,

解：由f(x)的定义域为[-3,5],则o(x)必有

所以函数0(x)的定义域为[TO].

3、逆向型

例5已知函数y=J/nd-6mx+〃2+8的定义域为R求实数〃z的取值范围。

分析：函数的定义域为R,表明加/一6蛆+m+820,使一切xwR都成立，由炉

项的系数是机，所以应分加=0或mwO进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当相。0时，处之一6^^+m+8之0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条

件是

fm0

《 , =0ml

[A=(-6m)2- +8)0

综上可知0

评注：不少学生容易忽略根=0的情况，希望通过此例解决问题。

kx7

例6已知函数/(x)=/ 一的定义域是R，求实数％的取值范围。

kx+4Zx+3

解：要使函数有意义，则必须京2+4入+3m0恒成立，

因为/(幻的定义域为R，即京2+4攵x+3=。无实数解

3①当左。0时一，八=16%2—4x3左0恒成立，解得0%〈二;

4

②当％=0时，方程左边=3。0恒成立。

3综上人的取值范围是0W女巳。

4