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《測圓海鏡》之已知大股求圓徑題之二(6)

上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112

何世強HoSaiKeung

提要：以下諸題源自《測圓海鏡?卷五》，所問者皆與“圓城圖式”有關，主要涉及勾股形之三邊成內接圓之切線，而求圓徑之問題。本文之問在“圓城圖式”中已知大股﹝即最大直角三角形之股﹞及另一條件，求圓城之徑，單位為步。

關鍵詞：乾隅大股艮隅天乾

以下之問取材自《測圓海鏡?卷五》之大股一十八問

筆者已有文章談及“求圓徑之題”名為〈《測圓海鏡》之已知大股求圓徑題之一(5)〉，本文乃其延續。

以下為圓城之一般圖：

朱

朱

《測圓海鏡》諸問皆涉及“圓城圖式”。《測圓海鏡》提供“圓城”兩個條件，計算圓城之半徑。天乾乃為大股，涉及大股者共一十八問，前五問見前文。

〈第六問〉

或問：乙從艮隅東行八十步而立，甲從乾隅南行六百步望見乙，問：圓徑幾何？

南 B

已知CM=80

DB=600

K L

東 H 西

O F

C M E D

題意指乙從艮隅M東行80步至C而立，甲從乾隅D南行600步至B回頭望見乙，BGC成一直線，求圓徑之長。

MM今將圖之重要部分放大如下：

H

今設AG=b G O

半徑GO=r R F

A

MC=80 DB=600

C

M艮隅 E D

今設AG為b為輔助未知數，圓半徑為r，ΔGMC與大三角形ΔBDC相似，所以GMCM=BDDC，得(1)式：

b+r80=60080+2r=

因CE=CH，CE=80+r，CH=√[802+(b+r)2]+b：

80+r=√[802+(b+r)2]+b(2)

從(1)得24000=40b+br+40r+r2

24000–40r–r2=b(40+r)

b=24000-40r-r

從(2)式得80+r–b=√[802+(b+r)2]

6400+r2+b2+160r–2rb–160b=6400+r2+b2+2rb

160r–2rb–160b=2rb

160r–160b=4rb

40r–40b=rb

40r–40(24000-40r-r240+r)=r(24000-40r-r240+r)﹝將b

1600r+40r2–960000+1600r+40r2=24000r–40r2–r3

r3+120r2–20800r–960000=0，分解因式得：

(r–120)(r2+240r+80000)=0

答圓半徑為120步。

以下為另法，以d=2r為圓直徑：

BD2+DC2=BC2，BD=600，DC=80+d，

BC=BH+CH=600–d2+80+d2

6002+(80+d)2=6802

360000+6400+160d+d2=462400

d2+160d–96000=0，分解因式得：

(d–240)(d+400)=0。

取d為240，即圓徑為240步。以此法為簡捷。

《測圓海鏡》之算法曰：

法曰：二行步相乘，又倍之為實，二之乙東行為從，一步常法，得全徑。

“二行步相乘，又倍之為實”指方程式之常數為

80×600×2=96000，

“二之乙東行為從”指d之係數為80×2=160，

“一步”指d2之係數為1。

“常法”乃指一般之從法開方。

故所形成之方程式為：d2+160d–96000=0，分解因式得：

(d–240)(d+400)=0。

取d為240，即圓徑為240步。

草曰：別得乙東行八十步，即小差也。立天元一d為城徑，減於甲南行步得600–d為大差，以乙東行步乘之，得80(600–d)=48000–80d又倍之得96000–160d為城徑冪，寄左，然後以天元冪d2與左相消得：

d2=96000–160d

d2+160d–96000=0，分解因式得：

(d–240)(d+400)=0。

或曰開平方得二百四十步，即城徑也，合問。

〈第七問〉

或問：南門東不知逺近有樹，甲從乾隅南行六百步望樹，與城?相直，復就樹，斜行四百八步至樹。問答同前。

題意指南門P之東不知逺近有樹H，甲從乾隅D南行600步至B點，回頭望樹與城?相直，即BHG成一直線，復就向樹斜行408步至樹，求圓徑。

南