2024年中考数学一轮复习提高讲义：菱形.docx

菱形

知识梳理

1.菱形的概念

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的不同于平行四边形的性质.

四边形→平行四边形→菱形.

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

理解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出强调两条：

(1)菱形是平行四边形.

(2)一组邻边相等.

2.菱形的性质

菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.

菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角.

菱形性质如下：

(1)边：对边平行，四边都相等.

(2)角:对角相等.

(3)对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.

(4)菱形是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线；它也是中心对称图形，其对称中心就是两条对角线的交点.

3.菱形的另一面积计算公式

菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半.

典型例题

例1

菱形具有而矩形不具有的性质是().

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.对边平行且相等

分析矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直.

解B.

例2

若菱形周长为52厘米，一条对角线长为10厘米，则其面积为()平方厘米.

A.240B.120C.60D.30

分析菱形的面积可由“对角线相乘”求得，另一条对角线的一半可由“勾股定理”求得.解B.

例3

如图17-1所示,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3厘米,则点P到AB的距离是厘米.

分析由已知得AC为∠DAB的角平分线,且PE,PF分别为到角两边的距离，根据角平分线的性质得到PE=PF.

解因为四边形ABCD是菱形

所以AC为∠DAB的角平分线

因为PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3厘米.

所以PE=PF=3厘米.

故答案为3.

例4

如图17-2所示,已知E为菱形ABCD的边AD的中点,EF⊥AC于F交AB于M.试证明M为AB的中点.

解因为四边形ABCD是菱形AC为对角线,所以∠1=∠2

因为EF⊥AC,所以∠AFM=∠AEF

在△AFM和△AFE中,

∠BAC=∠CAD

AF=AF

∠AFM=∠AEF

所以△AFM≌△AFE

所以AM=AE

因为AB=AD,点E为AD的中点

所以点M为AB的中点

双基训练

1.从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，则该菱形的钝角为().

A.110°B.120°C.135°D.150°

2.菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3厘米，则它的周长为()厘米.

A.8B.9C.12D.15

3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是().

A.对边相等B.对角相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

4.能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为().

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.不存在

5.下列说法不正确的是().

A.菱形的对角线互相垂直B.菱形的对角线平分各内角

C.菱形的对角线相等D.菱形的对角线交点到各边等距离

6.菱形的对角线长分别为8和10，则其周长为面积为.

7.菱形的两个邻角的度数之比是1：3，边长是52,则高为.

8.菱形的面积是48平方厘米，而对角线长之比是2：3，则其边长是.

9.已知菱形周长是24厘米，一个内角为60°，则面积为平方厘米.

10.菱形的一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长为12厘米，则菱形的周长为.

11.菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，那么菱形的各角的度数为.

12.菱形的一个角是60°，边长是8厘米，那么菱形的两条对角线的长分别是.

13.若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20厘米，则它的一组对边的距离等于厘米，它的面积等于平