2024年中考数学一轮复习提高讲义：配方法.docx

配方法

知识梳理

1.配方法的概念

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法.

2.二次三项式进行配方的两种类型

(1)二次项系数是1的类型：x2+px+q;

(2)二次项系数不是1的类型：ax2+bx+c

尤其当针对第(2)种类型配方时，一般需要先提取二次项系数(一元二次方程则通过除以二次项系数将方程化为二次项系数为(1)的类型)，然后再加上一次项系数一半的平方来配成完全平方，最后不要忘记减掉所增加的项.

3.配方法的重要性

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段.配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等式等方面有广泛的应用.

典型例题

例1

将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方.则添加单项式的方法共有多少种?请写出所有的式子及演示过程.

分析因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x2是平方项、是乘积二倍项的情况利用完全平方公式添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可.

解添加的方法有5种，其演示的过程分别是：

添加4x,得4x2+1+4x=

添加-4x,得4x2+1?4x=

添加4x?,得4x2+1+4x?=

添加?4x2,得4x2+1?4x2=12;

添加-1,得4x2+1?1=

例2

对于二次三项式3x2?6x+5,小聪同学做出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不会小于2(最小值是2)，你是否同意他的说法，并说明你的理由.

分析此题涉及二次三项式，它的基本形式是：ax2+bx+c.:可以根据配方的方法，把它整理成一个完全平方加或减一个数字的形式.

解由于原二次三项式的二次项系数不为1，所以化系数为1并配方：

原式=3

=3

=3

所以无论x取何值时，(x?12≥0,所以3x2?6x+5≥2.

例3

若x为任意实数，求x2+4x+7的最小值.

分析求x2+4x+7的最小值，可以先将它化成(x+22+3,根据x+2

解x2+4x+7=

因为x+22≥0,所以

因此,.x2+4x+7的最小值是3.

例4

已知a2+b2+c2=ab+bc+ac,又知a，b，c为三角形的三条边，求证：该三角形为等边三角形.

分析利用配方法解题.先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算.

解因为a2+b2+c2?ab?bc?ca=0.

所以两边都乘以2得：2a2+2b2+2c2?2ab?2bc?2ca=0,

所以(a2?2ab+b2)+b2?2bc+c2

所以a?b

根据非负数的性质得a?b

可知a=b=c，这个三角形是等边三角形.

双基训练

1.用一些硬纸片拼成的图形面积可以解释一些代数恒等式.如图21-1所示，图21-1(a)可以用来解释a+b2?

A.a2?b2=a+ba?b

C.a?b2=a2?2ab+b2

2.下列二次三项式是完全平方式的是().

A.x2?8x?16B.x2+8x+16C.x2?4x?16D.x2+4x+16

3.计算(x+22的结果为x2+□x+4,

A.-2B.2C.-4D.4

4.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如果二次三项式x2?2m+1

A.3或-5B.1C.-3D.无法确定

6.若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的二次三项式x2+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)为完全平方式,则△ABC是().

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.只有两边相等的等腰三角形

7.填上适当的数，使等式成立：xx2--4x+=(x--)2.

8.当整数k=时,多项式.x2+kx+4恰好是另一个多项式的平方.

9.若x2?2k+1x+k2+5是一个完全平方式，则k等于

10.多项式x2+y2?6x+8y+7的最小值