解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 (1).docx

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法

1、定义法

2、韦达定理法

3、设而不求点差法

4、弦长公式法

5、数形结合法

6、参数法（点参数、K参数、角参数）

7、代入法中的顺序

8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型

中点弦问题

焦点三角形问题

直线与圆锥曲线位置关系问题

圆锥曲线的有关最值（范围）问题

求曲线的方程问题

曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。

曲线的形状未知 求轨迹方程

存在两点关于直线对称问题

两线段垂直问题

常用的八种方法

1、定义法

1 2 1 1 2 2（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r+r=2a。第二定义中，r=ed r=ed

1 2 1 1 2 2

双曲线有两种定义。第一定义中，r

1

r ?2a，当r

12

1

r时，注意r

的最小值为

21 1 2 22c-a：第二定义中，r=ed，r=ed，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准

2

1 1 2 2

2

抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问

题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x

,y),B(x,y),弦AB中点为M(x,y

)，将点A、

1 1 2 2 0 0

B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

x2

（1）

y2

?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x

,y)，则有

a2 b2 0 0

yx0?

y

k?0。(其中K是直线AB的斜率)

a2 b2

x2

（2）

y2

?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x,y

)则有

a2 b2 0 0

yx0?

y

k?0(其中K是直线AB的斜率)

a2 b2

（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x

,y),则有2y

k=2p,即yk=p.

(其中K是直线AB的斜率)

4、弦长公式法

0 0 0 0

弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y?kx?b

代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2?bx?c?0的方程，方程的两根设为x ，x

A B

，判别

式为△，则|AB|? 1?k22|x

?x|?

1?k22

△

，若直接用结论，能减少配方、开

A B |a|

方等运算过程。

5、数形结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令

x2?y2y?

x2?y2

?d，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率??

6、参数法

”，令 =k，则k

? ?x 2 x 2

? ?

点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。

除设P（x,y）外，也可直接设P（2y-1,y）

1 1 1 1

斜率为参数

当直线过某一定点P(x,y)时，常设此直线为y-y=k(x-x)，即以k为参数，再按命题

0 0 0 0

要求依次列式求解等。

角参数

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

7、代入法中的顺序

这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件

P,P求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P代