2024年中考数学母题揭秘专题讲义：专题20+锐角三角函数及应用+.docx

专题20锐角三角函数及应用

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命题意图

锐角三角函数的定义属于基础考点，直接考查的不多；特殊三角函数值的计算通常作为解答题和实数的相关概念一起，考查学生的简单综合计算能力；考查先将现实生活中的实物或者现象提炼出所需的直角三角形，再根据已知数据解出未知部分．

考向分析

中考频度：★★★☆☆

难度系数：★★★☆☆

中考中对锐角三角函数的定义和性质的单独考查并不常见，难度也不大．有关特殊三角形函数值的计算是必考考点，通常会和零指数幂、负指数幂、绝对值、算术平方根等结合考查，形式比较固定，难度不大．有关于解直角三角形及其应用的考查，可以是选择题、填空题，但最常考的是解答题，问题背景常和仰角、俯角，楼高，实物中某部分长度等结合．出现在填空题中时，常和相似结合，作为压轴填空题出现．

答题技巧

1．熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键．

2．锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定．

3．在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，辅助线是解题关键．

4．解直角三角形的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

（2）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

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●◎○○○○○○○○○○○○○○◎●

知识盘点

1．正弦、余弦、正切的概念

如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝eq\f(a,c)；

（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA＝eq\f(b,c)；

（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tanA＝eq\f(a,b)；

锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数．

2．特殊角的三角函数值

α

sinα

cosα

tanα

30°

45°

60°

3．锐角三角函数之间的关系

同一锐角的三角函数之间的关系：

（1）；

（2）．

4．解直角三角形

任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

在中，

，，，

三边关系：

两锐角关系：

边与角关系：，，，

锐角α是a，b的夹角

面积：

5．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

6．实际应用问题中的常见概念：

（1）俯角、仰角

在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．

（2）方向角

①方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．

②如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．

（3）坡度、坡角

①坡度通常写成1∶tanα的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝eq\f(h,l)．

②一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶．

1

1

【母题来源】（2024?山西）

【母题再现】

一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，

，

重力的方向竖直向下，

，

，

摩擦力的方向与斜面平行，

，

，

故选：．

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●◎○○○○○○○○○○○○○○◎●

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【母题来源】（2024?临夏州）

【母题再现】

如图，在中，，，则的长是

A．3 B．6 C．8 D．9

【答案】

【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：过点作的垂线