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24.1锐角三角函数
解直角三角形
锐角三角函数概念:
规定:在Rt△BC中,∠C=90,
∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c.
B
斜边c∠A的对边a
斜边c
A C
在Rt△BC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,∠A的邻边b
记作sinA,即sinA==a. sinA=?A的对边 ?a
c ?A的斜边 c
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作 cosA,即 cosA=
?A的邻边 = a ;
斜边 c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,
a
记作 tanA,即 tanA=
?A的对边
?A的邻边
=b .
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求值.
sinA= cosA= B
tanA= sinB=
cosB= tanB=
sinA= cosA=
3
A 4 C
(1)
tanA= sinB=
cosB= tanB=
特殊角的三角函数值:
_B
_13_ _
_13
_C
_A
_(2)
Word格式
Word格式
..
.
.
Word
Word格式
30°
30°
45°
60°
siaA
cosAtanA
例2:求下列各式的值.
cos45?
(1)cos260°+sin260°. (2)sin45?
-tan45°.
练习:1、
2、计算:
解直角三角形:
在直角三角形中,除
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除
直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有以下等量关系
边角之间关系
b a b
sinA?c;cosA?c;tanA?b;cotA?a
a b a
sinB?
c;cosB?c;tanB?a;cotB?b
如果用??表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成.
sin????的对边;cos??
??的邻边;tan??
??的对边;cot??
??的邻边
斜边 斜边 ??的邻边 ??的对边
三边之间关系
锐角之间关系∠A+∠B=90°.
a2+b2
=c2
(勾股定理)
以上三点正是解直角三角形的依据.例3:在Rt△ABC中,∠C=90°.
2(1)已知:a=35,c?35
2
,求∠A、∠B,b;
3(2)已知:a?2 ,b?2,求∠A、∠B,c;
3
已知:
sinA?
2
3,c?6,求a、b;
已知:tanB?
3,b?9,求a、c;
2
已知:∠A=60°,△ABC的面积S?12 3,求a、b、c及∠B.
仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
例4、如图,大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁.一艘海轮沿正东方向航行,在A处望见C在北偏东60°处,前进20km后到达点B,测得C在北偏东45°处.如果该海轮继续沿正东方向航行,有无触礁危险?请说明理由.
(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)
练一练:1、某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距6米,探测线与地面的夹角
分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度.(精确到0.1米,参考数据: ≈1.41,
≈1.73)
2、如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知在小岛周围170
海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)
例5、如图,湖中有一小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,在小道上测得如下数据:AB=60米,∠PAB=45°,∠PBA=30°.请求出小桥PD的长.
练一练:1、如图,A,B,C分别表示三所不同的学校,B,C在东西向的一条马路边,A学校在B学校北偏西15°方向上,在C学校北偏西60°方向上,A,B两学校之间的距离是1000米,请求出∠BAC的度数以及A,C两学校之间的距离.
2
2、如图,小明在楼顶 处测得对面大楼楼
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